Эта страница переведена с помощью средств машинного перевода. Смотреть оригинал

Эмпирическая минимизация риска как правило выбора параметра для общих линейных методов регуляризации.

Авторы
ИзданиеarXiv.org.
Год издания2017

 Мы рассматриваем статистическую обратную задачу для восстановленияf От зашумленных измеренийY=Tf+σξ гдеξ Является гауссовским белым шумом иT Компактный оператор между гильбертовыми пространствами. Рассматривая общие методы реконструкции видаf^α=qα(TT)TY С упорядоченным фильтромqα, Мы исследуем выбор параметра регуляризацииα Минимизируя непредвзятую оценку прогнозируемого рискаE[TfTf^α2]. Соответствующий параметрαpred И его использование хорошо известно в литературе, но неравенства оракула и результаты оптимальности в этой общей ситуации неизвестны. Докажем (обобщенное) неравенство оракула, связывающее прямой рискE[ff^αpred2] С риском предсказания оракуловinfα>0E[TfTf^α2]. Из этого неравенства оракула мы затем можем сделать вывод, что исследуемое правило выбора параметров имеет оптимальный порядок. Наконец, мы также представляем численное моделирование, которое поддерживает оптимальность порядка метода и качество выбора параметра в конечных ситуациях выборки.

Ссылка на публикацию
Ли Х. Б., Вернер Ф.   Эмпирическая минимизация риска как правило выбора параметра для общих линейных методов регуляризации. - : , 2017. // arXiv.org, 2017.
Библиография
1.[Абрамович и Сильверман, 1998] as98 Абрамович Ф. И Сильверман, Б. W. (1998 год). Вейвлет-декомпозиция подходит к статистическим обратным задачам. Biometrika, 85: 115-129.
2.[Бакушинский, 1984] b84 Бакушинский, А. B. (1984). Замечания о выборе параметра регуляризации из критериев квазиоптимальности и отношения. Zh. Вычисл. Мат. я в. Fiz., 24 (8): 1258-1259.
3.[Bauer and Hohage, 2005] bh05 Bauer, F. И Хохаге, Т. (2005 год). Лепский тип остановки для регуляризованных методов Ньютона. Обратный Пробл., 21 (6): 1975 год.
4.[Bauer and Lukas, 2011] bl11 Bauer, F. И Лукас, М. A. (2011 год). Сравнение методов выбора параметров для регуляризации некорректных задач. Математика. Вычисл. Моделирование, 81 (9): 1795-1841.
5.[Bellec and Tsybakov, 2016] bt16 Bellec, P. С. И Цыбаков А. B. (2016). Границы ошибки прогноза оцененных штрафов с наименьшими квадратами с выпуклым штрафом. ArXiv: 1609.06675.
6.[Birg? E и Massart, 2001] bm01 Birg? E, L. И Massart, P. (2001). Выбор гауссовой модели. J. Евро. Математика. Soc. (JEMS), 3 (3): 203-268.
7.[Birg? E and Massart, 2007] bm07 Birg? E, L. И Massart, P. (2007). Минимальные штрафы за выбор Гауссовой модели. Probab. Поля, связанные с теорией, 138 (12): 33--73.
8.[Bissantz et al., 2007] bhmr07 Bissantz, N., Hohage, T., Munk, A., И Руймгаарт, F. (2007). Коэффициенты сходимости общих методов регуляризации для статистических обратных задач и приложений. SIAM J. Число. Анальный., 45 (6): 2610-2636.
9.[Blanchard et al., 2016] bhr16 Blanchard, G., Hoffmann, M., И Rei ?, M. (2016). Оптимальная адаптация для ранней остановки в статистических обратных задачах. ArXiv: 1606.07702.
10.[Cand`es et al., 2013] cslt13 Candes, E. J., Синг-Лонг, С. A., И Trzasko, J. D. (2013). Беспристрастные оценки риска пороговых значений сингулярных значений и спектральных оценок. IEEE Trans. Сигнальный процесс., 61 (19): 4643-4657.
11.[Cavalier, 2011] c11 Cavalier, L. (2011 год). Обратные задачи статистики. В обратных задачах и высокоразмерном оценивании, том 203 из Lect. Примечания Stat. Proc., Страницы 3--96. Спрингер, Гейдельберг.
12.[Cavalier et al., 2002] cgpt02 Cavalier, L., Голубев Г. К., Пикард, Д., И Цыбаков А. B. (2002). Неравенства Oracle для обратных задач. Анна. Статистик., 30 (3): 843--874. Посвящается памяти Люсьена Ле Кама.
13.[Cavalier and Golubev, 2006] cg06 Cavalier, L. И Голубев, Y. (2006 год). Метод рискового корпуса и регуляризация проекциями некорректных обратных задач. Анна. Статистик., 34 (4): 1653-1677.
14.[Cavalier et al., 2003] cglt03 Cavalier, L., Голубев Ю., Лепски, О., И Цыбаков А. (2003 год). Блочное пороговое и резкое адаптивное оценивание в сильно некорректных обратных задачах. Теория. Вероятность. I Прим., 48 (3): 534-555.
15.[Черноусова и Голубев, 2014] cg14 Черноусова Е. И Голубев, Y. (2014 г.). Спектральные отсечения для некорректных линейных моделей. Математика. Методы статистики., 23 (2): 116-131.
16.[Cohen et al., 2004] chr04 Cohen, A., Hoffmann, M., И Rei ?, M. (2004). Адаптивные вейвлет-методы Галеркина для линейных обратных задач. SIAM J. Число. Анальный., 42 (4): 1479-1501.
17.[Davies and Anderssen, 1986] da86 Davies, A. Р. And Anderssen, R. S. (1986). Улучшенные оценки параметров статистической регуляризации при дифференцировании и сглаживании Фурье. Число. Математика., 48 (6): 671-697.
18.[Deledalle et al., 2014] dvfp14 Deledalle, C.-А., Vaiter, S., Fadili, J., И Peyr? E, G. (2014 г.). Stein Unbiased GrAdient оценки риска (SUGAR) для выбора нескольких параметров. SIAM J. Imaging Sci., 7 (4): 2448-2487.
19.[Dette et al., 1998] dmw98 Dette, H., Munk, A., И Вагнер, Т. (1998 год). Оценка дисперсии в непараметрической регрессии - что является разумным выбором? J. Р. Stat. Soc. Ser. B. Stat. Методол., 60 (4): 751-764.
20.[Донохо, 1995 год] d95 Донохо, Д. L. (1995 год). Нелинейное решение линейных обратных задач методом вейвлет-валетного разложения. Appl. Вычисл. Хармон. Анальный., 2 (2): 101-126.
21.[Engl et al., 1996] ehn96 Engl, H., Ханке, М., И Нойбауэр, А. (1996 год). Регуляризация обратных задач. Спрингер.
22.[Goldenshluger, 1999] g99 Goldenshluger, A. (1999 год). О поточечно-адаптивной непараметрической деконволюции. Bernoulli, 5 (5): 907--925.
23.[Golub et al., 1979] ghw79 Golub, G. ЧАС., Хит, М., И Wahba, G. (1979). Обобщенная перекрестная проверка как метод выбора хорошего параметра хребта. Technometrics, 21 (2): 215--223.
24.[Голубев и Хасьминский, 1999] gk99 Голубев Г. К. И Хасьминский, Р. Z. (1999 год). Статистический подход к некоторым обратным задачам для уравнений в частных производных. Проблемы передачи информации, 35 (2): 51--66.
25.[Голубев, 2010] g10 Голубев, Y. (2010). О универсальных неравенствах оракула, связанных с многомерными линейными моделями. Анна. Статистик., 38 (5): 2751-2780.
26.[Hall et al., 1990] hkt90 Hall, P., Kay, J. W., И Titterinton, D. М. (1990 год). Асимптотически оптимальная разностная оценка дисперсии в непараметрической регрессии. Biometrika, 77: 521-528.
27.[Ingster et al., 2014] ilm14 Ingster, Y., Лоран, Б., И Marteau, C. (2014 г.). Обнаружение сигнала для обратных задач в многомерной структуре. Математика. Методы статистики., 23 (4): 279-305.
28.[Ingster et al., 2012] iss12 Ingster, Y. Я., Sapatinas, T., И Суслина, I. A. (2012 год). Обнаружение минимального сигнала в некорректных обратных задачах. Анна. Статистик., 40 (3): 1524-1549.
29.[Джонстон и др., 2004] jkpr04 Джонстон, I. М., Керкячарян, Г., Пикард, Д., И Раймондо, М. (2004). Веклетная деконволюция в периодическом режиме. J. Р. Stat. Soc. Ser. B Stat. Методол., 66 (3): 547-573.
30.[Джонстон и Сильверман, 1991] js91 Джонстон, I. М. И Сильверман, Б. W. (1991). Дискретизация эффектов в статистических обратных задачах. J. Сложность, 7: 1--34.
31.[Kneip, 1994] k94 Kneip, A. (1994). Упорядоченные линейные сглаживатели. Анна. Статистик., 22 (2): 835--866.
32.[Lepski, 1991] l90 Lepski, O. V. (1991). Об одной проблеме адаптивной оценки в гауссовском белом шуме. Теория вероятностей. Appl., 35 (3): 454-466.
33.[Li, 1987] l87 Li, K.-C. (1987). Асимптотическая оптимальность для C, C, cross p L проверки и обобщенная перекрестная проверка: дискретное множество индексов. Анна. Статистик., 15 (3): 958-975.
34.[Lucka et al., 2017] lpbbbdw17 Lucka, F., Прокш К., Brune, C., Биссантц, N., Burger, M., Детте, Х., И W? Ubbeling, F. (2017 год). Оценщики риска для выбора параметров регуляризации в некорректных задачах - свойства и ограничения. ArXiv: 1701.04970.
35.[Luisier et al., 2007] lbu07 Luisier, F., Blu, T., И Unser, M. (2007). Новый верный подход к снижению шума: интерполяционный ортонормированный вейвлет-порог. IEEE Trans. Процесс изображения., 16 (3): 593--606.
36.[Лукас, 1993] l93 Лукас, М. A. (1993). Асимптотическая оптимальность обобщенной перекрестной проверки для выбора параметра регуляризации. Число. Математика., 66 (1): 41--66.
37.[Лукас, 1995] l95 Лукас, М. A. (1995 год). О принципе невязки и обобщенной максимальной вероятности регуляризации. Бык. Austral. Математика. Soc., 52 (3): 399-424.
38.[Mair and Ruymgaart, 1996] mr96 Mair, B. A. И Руймгаарт, Ф. ЧАС. (1996 год). Статистическая обратная оценка в гильбертовых шкалах. СИАМЖ. Appl. Математика., 56 (5): 1424-1444.
39.[Маллоуз, 1973] m73 Мальвы, C. L. (1973). Некоторые комментарии по C. Техничеcкие технические данные, 15 (4): 661-675.
40.[Math? E, 2006] m06 Math? E, P. (2006 год). Лепски ??? Принцип пересмотра. Обратный Пробл., 22 (3): L11 - L15.
41.[Math? E and Hofmann, 2008] mh08 Math? E, P. И Хофманн, Б. (2008 год). Насколько общие исходные условия? Обратные задачи, 24 (1): 015009.
42.[Math? E and Pereverzev, 2001] mp01 Math? E, P. И Переверзев С. V. (2001). Оптимальная дискретизация обратных задач в гильбертовых шкалах. Регуляризация и саморегуляция проекционных методов. SIAM J. Число. Анальный., 38 (6): 1999-2021 годы.
43.[Math? E and Pereverzev, 2003] mp03 Math? E, P. И Переверзев С. V. (2003 год). Геометрия линейных некорректных задач в переменных гильбертовых шкалах. Обратный Пробл., 19 (3): 789-803.
44.[Мат. И Переверзев, 2006] mp06 Math? E, P. И Переверзев С. V. (2006 год). Регуляризация некоторых линейных некорректных задач с дискретными случайными шумовыми данными. Математика. Comp., 75 (256): 1913-1929 (электронный).
45.[Морозов, 1966] m66 Морозов В. A. (1966). О решении функциональных уравнений методом регуляризации. Советская математика. Dokl., 7: 414-417.
46.[ОСалливан, 1986] os86 ОСалливан, Ф. (1986). Статистическая перспектива некорректных обратных задач. Статистик. Sci., 1 (4): 502-527. С комментариями и возражениями автора.
47.[Пинскер, 1980] p80 Пинскер, М. S. (1980 год). Оптимальная фильтрация квадратичных сигналов в гауссовском шуме. Пробл. Inf. Transm., 16 (2): 52-68. (Русский).
48.[Райс, 1984] r84 Райс, Дж. (1984). Выбор ширины полосы для непараметрической регрессии. Анна. Статистик., 12 (4): 1215-1230.
49.[Rieder, 2005] r05 Rieder, A. (2005 год). Интеграторы Рунге-Кутты дают оптимальные схемы регуляризации. Обратный Пробл., 21 (2): 453-471.
50.[Stein, 1981] s81 Stein, C. М. (1981). Оценка среднего многомерного нормального распределения. Анна. Статистик., 9 (6): 1135-1151.
51.[Цыбаков, 2000] t00 Цыбаков, А. (2000). О наилучшей скорости адаптивной оценки в некоторых обратных задачах. С. Р. Acad. Sci. Paris S? Er. Математическое моделирование., 330 (9): 835-840.
52.[Vogel, 1986] v86 Vogel, C. Р. (1986). Оптимальный выбор уровня усечения для усеченного решения SVD линейных интегральных уравнений первого рода, когда данные зашумлены. SIAM J. Число. Анальный., 23 (1): 109-117.
53.[Vogel, 2002] v02 Vogel, C. Р. (2002). Вычислительные методы для обратных задач, том 23 «Границы в прикладной математике». Общество Промышленной и Прикладной Математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания.
54.[Wahba, 1977] w77 Wahba, G. (1977). Практические приближенные решения линейных операторных уравнений, когда данные зашумлены. SIAM J. Число. Анальный., 14 (4): 651-667.
55.[Wang and Morel, 2013] wm13 Wang, Y.-Q. И Морель, J.-М. (2013). Уверенный управляемый гауссовский шум смеси. SIAM J. Imaging Sci., 6 (2): 999-1034.
56.[Werner, 2015] w15 Werner, F. (2015 год). О коэффициентах сходимости итерационно-регуляризованных методов Ньютона при условии нелинейности типа Липшица. J. Обратный ill-posed P., 23 (1): 75-84.
57.[Werner and Hohage, 2012] wh12 Werner, F. И Хохаге, Т. (2012 год). Коэффициенты сходимости в ожидании регуляризации Тихонова обратных задач с данными Пуассона. Обратный Пробл., 28 (10): 104004.

Эта публикация на других ресурсах

Портал arXiv.org

Другие публикации этой тематики
1.Экономический численный метод решения коэффициентной обратной задачи для трехмерного волнового уравнения
Леонов А. С., Бакусхинску А. Б.
2.Исследование методов выбора параметров для RFMP в отношении дальнейшего продолжения
Джуттиндж М. , Кретз Б. , Микхел Ф. Д., Телскхов Р.
3.Гибкая разреженная регуляризация
Лоренз Д. А., Ресмерита Е.
4.Некоторые свойства МУЗЫКАЛЬНОГО ОБРАБОТКИ изображений при обратном рассеянии на открытой, звуко-твердой дуге
Парк В.
5.Байес встречает Крылова: предварительная подготовка CGLS для недоопределенных систем
Калветти Д. , Питолли Ф. , Сомерсало Е. , Вантаджджи Б.
6.Проверка условия вариационного источника для задач акустического инверсного рассеяния среды
Хохадже Т. , Веидлиндж Ф.
7.Об эффекте фильтрации итерационных алгоритмов регуляризации для линейных задач наименьших квадратов
Корнелио А. , Порта Ф. , Прато М. , Занни Л.
8.Онлайн-локальная калибровка волатильности методом выпуклой регуляризации с принципом Морозова и коэффициентами конвергенции
Зубелли Д. П.
9.Неравенство Oracle для статистического правила типа Raus-Gfrerer
Джин К. , Матхé П.
10.О выполнении алгоритмов минимизации1-пенализованные функционалы
Лорис И.