Эта страница переведена с помощью средств машинного перевода. Смотреть оригинал

Об асимптотических приближениях к тэта-функциям лог-Гамма и Римана-Зигеля.

Авторы
ИзданиеarXiv.org.
Год издания2016

 Даны оценки погрешности асимптотического приближения лог-гамма-функцииlnΓ(z) Для комплексныхz В правой полуплоскости. Они улучшаются на ранних границах Бекке и Соммером (1962), Спира (1971) и Харе (1997). Покажем, что|Rk+1(z)/Tk(z)|<πk Для отличных от нуляz В правой полуплоскости, гдеTk(z) этоk-го члена в асимптотическом ряду иRk+1(z) Это ошибка, возникающая при усечении серии послеk сроки. Еслиk|z|, То более сильная оценка|Rk+1(z)/Tk(z)|<(k/|z|)2/(π21)<0.113 Держится. Аналогично для асимптотической аппроксимацииlnΓ(z+12), За исключением того, что коэффициентηk=1/(1212k) Умножает некоторые из границ. Выводятся аналогичные оценки асимптотической аппроксимации тэта-функции Римана-Зигеляϑ(t). Показано, что точность известной аппроксимацииϑ(t) Может быть улучшено включением экспоненциально малого члена в приближении. Это улучшает достижимую точность для реальногоt>0 изO(exp(πt)) КO(exp(2πt)). Мы обсуждаем аналогичный пример Ольвера (1964) и связь с явлением Стокса.

 23 страницы, 2 таблицы, исправлены опечатки и добавлены новые результаты в версии 2

Ссылка на публикацию
Брент Р. П.  Об асимптотических приближениях к тэта-функциям лог-Гамма и Римана-Зигеля. - : , 2016. // arXiv.org, 2016.
Библиография
1.М. Абрамович и я. A. Стегун, Справочник по математическим функциям, Довер, Нью-Йорк, 1965. Онлайн-версия на сайте http: // people.Математика.Sfu.Ca / cbm / aands /. ~
2.Р. A. Аски и Р. Рой, функция гамма, глава 5 в цифровой библиотеке математических функций NIST, http: // dlmf.Нист.Gov /, по состоянию на 2016-08-08.
3.ЧАС. Бекке и Ф. Sommer, Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Ver? Anderlichen, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1962.
4.М. V. Берри, Разложение Римана-Зигеля для дзета-функции: высокие порядки и остатки, Proc. Р. Soc. Lond. А 450 (1995), 439-462.
5.Р. П. Брент, О нулях дзета-функции Римана в критической полосе, Матем. Comp. 33 (1979), 1361-1372.
6.Р. П. Брент, Асимптотическая аппроксимация центральных биномиальных коэффициентов со строгими пределами погрешности, arXiv: 1608.04834v1, 17 авг. 2016 год.
7.Р. П. Brent, J. Ван де Луне, H. J. J. Т. Риле и Д. T. Зима, О нулях дзета-функции Римана в критической полосе, II, Матем. Comp. 39 (1982), 681-688.
8.F. D. Крари и Дж. Баркли Россер, Высокие коэффициенты точности, связанные с дзета-функцией, рассмотрен Р. П. Брент в математике. Comp. 31 (1977), 803--804.
9.К. Дилшер, Асимптотика Бернулли, Эйлера и обобщенные полиномы Бернулли, J. Теория аппроксимации 49 (1987), 321-330.
10.ЧАС. М. Эдвардс, Дзета-функция Римана, Academic Press, Нью-Йорк, 1974; Переиздание Dover Publications, 2001.
11.W. Gabcke, Neue Herleitung und Explizite Restabsch? Atzung der RiemannSiegel-Formel, Ph.D. Диссертация, G? Ottingen, 1979. Онлайн-версия, переработанная в 2015 году, доступна по адресу http: // ediss.Uni-goettingen.De /.
12.С. F. Гаусс, Рассуждение о всеобщем любопытстве? (& Plusmn; 1) & le; (& plusmn; 1) & Delta; (& plusmn; 1) (& plusmn;) 2, Comm. Soc. Рег. 1 & le; 1 & le; 2 & le; ? (& Plusmn; 1) 1 & le; 2 & le; 3? ? (& Plusmn; 1) (& plusmn; 2) Sci. G? Ottingensis Rec. 2 (1813); Переизданный в Карле Фридрихе Гауссе Верке, Bd. 3, G? Ottingen, 1876, 123-162 (см. Pg. 152). Доступно в Интернете по адресу https: // archive.Org / details / werkecarlf03gausrich.
13.J.-П. Gram, Note sur les zé eros de la fonction (s) de Riemann, Acta Mathematica 27 (1908), 289-304.
14.D. E. Г. Харе, Вычисление главной ветви log-Gamma, J. Алгоритмов 25 (1997), 221-236.
15.М. Ch. Hermite, Sur-logon log (a), J. Reine Angew. Математика. 115 (1895), 201-208.
16.D. ЧАС. Лемер, Расширенное вычисление дзета-функции Римана, Математика 3 (1956), 102-108.
17.Р. E. Мейер, Простое объяснение явления Стокса, SIAM Review 31 (1989), 435-445.
18.Г. Немес, Обобщение формул Гамма функции Бине, Интегральные преобразования и специальные функции 24 (2013), 597--606. Http: // dx.Doi.Org / 10.1080/10652469.2012.725168
19.A. B. Olde Daalhuis, S. J. Chapman, J. Р. King, J. Р. Окендон и Р. ЧАС. Тью, явление Стокса и согласованные асимптотические разложения, СИАМ Дж. Appl. Математика. 55 (1995), 1469-1483.
20.F. W. J. Олвер, Оценки ошибок для асимптотических разложений, Применение к цилиндрам больших аргументов, Асимптотические решения дифференциальных уравнений и их приложения, C. ЧАС. Wilcox, ed., John Wiley, New York, 1964, pp. 163-183oC.
21.F. W. J. Олвер, Асимптотика и специальные функции, Academic Press, Нью-Йорк, 1974.
22.Г. P? Olya and G. Сеге, Проблемы и теоремы в анализе I, Классика Спрингера по математике, 1972 (Д. Эппли, переводчик). Https: // archive.Org / details / springer_10.1007-978-3-642-61983-0
23.Р. Спира, Вычисление функции Гамма по формуле Стирлинга, Матем. Comp. 25 (1971), 317-332.
24.Г. N. Уотсон, Трактат по теории функций Бесселя, второй изд., Cambridge Univ. Press, 1941.
25.E. T. Уиттекера и Дж. N. Уотсон, курс современного анализа, 3-е изд., Cambridge Univ. Press, 1920. Доступно в Интернете из http: // archive.Org / details / cu31924001549660.

Эта публикация на других ресурсах

Портал arXiv.org

Другие публикации этой тематики