Эта страница переведена с помощью средств машинного перевода. Смотреть оригинал

Анализ метода диффузной области для решения уравнений с частными производными в сложных геометриях.

Авторы
ИзданиеarXiv.org.
Год издания2014

 В недавней работе Li et al.\ (Связь.\ Math.\ Sci., 7: 81-107, 2009) разработан метод диффузионной области (DDM) для решения уравнений в частных производных в сложных динамических геометриях с граничными условиями Дирихле, Неймана и Робена. В методе диффузной области используется неявное представление геометрии, где резкая граница заменяется диффузным слоем с толщинойϵ Что обычно пропорционально минимальному размеру сетки. Исходные уравнения переформулированы на большей регулярной области, а граничные условия включены через сингулярные источники. Результирующие уравнения могут быть решены с помощью стандартных программных пакетов с конечной разницей и конечными элементами. Здесь мы представляем согласованный асимптотический анализ общих методов диффузной области для граничных условий Неймана и Робена. Наш анализ показывает, что при некоторых вариантах приближения граничных условий DDM является точной второго порядка вϵ. Однако для других вариантов DDM имеет точность только первого порядка. Это помогает объяснить, почему выбор приближения граничного условия важен для быстрой глобальной сходимости и высокой точности. Наш анализ также предлагает корректирующие термины, которые могут быть добавлены для получения более точных методов диффузной области. Предлагаются простые модификации приближений граничных условий первого порядка для получения асимптотически точных схем второго порядка. Наши аналитические результаты подтверждены численно вL2 а такжеL Нормы для выбранных тестовых задач.

 32 страницы, 12 рисунков Опубликовано: Коммуникации в математических науках, Vol. 13 (6), 2015 год 1473-1500

Ссылка на публикацию
Карл У. Л., Ловенджруб Д. С.  Анализ метода диффузной области для решения уравнений с частными производными в сложных геометриях. - : , 2014. // arXiv.org, 2014.
Библиография
1.S. Аланд, Дж. Lowengrub, и A. Фойгт, Двухфазный поток в сложных геометриях: подход с диффузной областью., Computer Modeling in Engineering & Sciences, 57 (2010), pp. 77--106.
2.Р. F. Альмгрен, асимптотика фазового поля второго порядка для неодинаковой проводимости, SIAM Journal on Applied Mathematics, 59 (1999), с. 2086--2107.
3.J. Бедроссиан, Дж. ЧАС. Фон Брехт, С. Чжу, Э. Сифакис и Дж. М. Теран, Метод виртуального узла второго порядка для эллиптических задач с интерфейсами и нерегулярными доменами, J. Вычисл. Phys., 229 (2010), pp. 6405-6426.
4.М.К. Бернауэр, Р. Герцог, Реализация X-FEM-решателя для классической двухфазной задачи Стефана, J. Sci. Вычисл., 52 (2012), pp. 271-293.
5.A. Буэно-Оровио и В. М. Перес-Гарсия, Спектральные сглаженные граничные методы: роль внешних граничных условий, Числитель. Meth. Частичный разброс. Уравнения, 22 (2006), pp. 435--448.
6.A. Буэно-Оровио, В. М. Перес-Гарсия и Ф. ЧАС. Фентон, Спектральные методы для уравнений с частными производными в нерегулярных областях: спектральный сглаженный граничный метод, SIAM Journal on Scientific Computing, 28 (2006), с. 886--900.
7.A. Byfut, A. Шрёдер, hp-адаптивный расширенный метод конечных элементов, Инт. J. Число. Meth. Eng., 89 (2012), pp. 1293-1418.
8.Г. Caginalp, P. С. Файф, Динамика слоистых интерфейсов, возникающих из фазовых границ, SIAM Journal on Applied Mathematics, 48 ​​(1988), pp. 506-518.
9.М. Цистернино, Л. Вейнанс, Параллельный декартовы метод второго порядка для задач эллиптического сопряжения, комм. Вычисл. Phys., 12 (2012), стр. 1562-1587.
10.A. Коко и Г. Руссо, конечно-разностные методы многоточечных призрачных точек на декартовых сетках для эллиптических задач в произвольных областях, Дж. Вычисл. Phys., 241 (2013), pp. 464-501.
11.A. Демлоу и Г. Дзюк, Адаптивный метод конечных элементов для оператора Лапласа-Бельтрами на неявно определенных поверхностях, SIAM J. Число. Анальный., 45 (2007), pp. 421-442.
12.J. Долбау, я. Харари, Эффективный метод конечных элементов для задач встроенного интерфейса, Инт. J. Число. Meth. Eng., 78 (2009), pp. 229-252oC.
13.Р. Дудду, Д.L. Chopp, P. Voorhees, B. Моран, Диффузионная эволюция выделений в упругих средах с использованием расширенного метода конечных элементов и методов набора уровней, J. Вычисл. Phys., 230 (2011), pp. 1249-1264.
14.Г. Дзюк и К.М. Эллиот, Эйлеровский метод конечных элементов для параболических уравнений с частными производными на неявных поверхностях, Инт. Свободно. Связанный., 10 (2008), стр. 119-138oC.
15.Г. Дзюк и К.М. Эллиот, Эйлеров подход к транспорту и диффузии при эволюции неявных поверхностей, Вычисл. Визуальный. Sci., 13, (2010), стр. 17-28.
16.Г. Дзюк и К.М. Эллиот, Полностью дискретный эволюционирующий поверхностный метод конечных элементов, SIAM J. Число. Анальный., 50, 5, (2012), pp. 2677-2694.
17.С.М. Эллиот, Б. Стиннер, В. Стили, Р. Welford, Численное вычисление адвекции и диффузии на развивающихся диффузных интерфейсах, IMA J. Num. Анальный., 31, (2011), pp. 245-269oC.
18.С.М. Эллиот и Б. Stinner, Анализ диффузного подхода к решению уравнения диффузии адвекции на движущейся поверхности, Матем. Mod. Meth. Appl. Sci., (2009) в прессе.
19.Р.П. Fedkiw, T. Аслам Б. Мерриман, С. Ошер, Бесколебательный эйлеровый подход к интерфейсам в многомерных потоках (метод фантомной жидкости, J. Вычисл. Phys., 152 (1999), pp. 457-492.
20.F. ЧАС. Фентон, Э. М. Черри, А. Карма и У. J. Rappel, Моделирование распространения волн в реалистических геометриях сердца с использованием метода фазового поля, CHAOS, 15 (2005).
21.Р. Folch, J. Casademunt, A. Эрнандес-Мачадо и Л. RamirezPiscina, Phys. Rev. E, 60 (1999), pp. 1724.
22.S. Franz, R. G? Rtner, H.-Г. Роос и А. Фойгт, «Заметка о конвергентном анализе диффузионного подхода», «Вычислительные методы в прикладной математике», 12 (2012), с. 153-167oC.
23.F.-П. Фриз, T. Белычко, Обобщенный метод конечных элементов: обзор метода и его приложений, Инт. J. Число. Meth. Eng., 84 (2010), pp. 253-304.
24.F. Gibou, C. Мин и Р. Fedkiw, High Resolution Sharp Вычислительные методы для эллиптических и параболических задач в сложных геометриях, Journal of Scientific Computing, 54 (2013), с. 369-413.
25.F. Гибу, Р. Fedkiw, L.T. Ченг и М. Кан, Точная симметрическая дискретизация второго порядка уравнения Пуассона на нерегулярных областях, Дж. Вычисл. Phys., 176 (2002), pp. 205-227oC.
26.F. Гибу и Р. Fedkiw, Четкая дискретизация четвёртого порядка для уравнений Лапласа и теплопроводности на произвольных областях с приложениями к задаче Стефана, J. Вычисл. Phys., 202 (2005), pp. 577-601.
27.J. Глимм и Д. Марчесин и О. McBryan, Численный метод для двухфазного потока с неустойчивым интерфейсом, J. Вычисл. Phys., 39 (1981), стр. 179200.
28.Р. Glowinski, T.W. Пан и Дж. Periaux, Метод фиктивной области для внешнего несжимаемого вязкого течения, моделируемый уравнениями Навье-Стокса, Вычисл. Meth. Appl. Мех. Engin., 112 (1994), pp. 133-148oC.
29.Р. Гловинский и Т.W. Пан и Р.O. Уэллс и Х.D. Чжоу, Вейвлет и конечно-элементные решения для задачи Неймана с использованием фиктивных областей, Дж. Вычисл. Phys., 126 (1996), pp. 40-51.
30.J.B. Грир и А.L. Бертоцци и Г. Сапиро, Уравнения в частных производных четвертого порядка общей геометрии, J. Вычисл. Phys., 216 (2006), pp. 216-246oC.
31.S. Гросс и А. Reusken, Пространство конечных элементов с растянутым давлением для двухфазных несжимаемых течений, J. Вычисл. Phys., 224 (2007), pp. 40-48.
32.ИКС.М. Он, T. Лин, Y.П. Lin, Погруженные конечно-элементные методы для задач эллиптического интерфейса с неоднородными условиями перехода, Инт. J. Число. Анальный. Модель., 8 (2011), стр. 284-301.
33.. Хельгадтир и Ф. Гибо, Пуассон, Больцман, решатель на нерегулярных областях с граничными условиями Неймана или Робена на неградуированной адаптивной сетке, Дж. Вычисл. Phys., 230 (2011), pp. 3830-3848.
34.J. L. Хелрунг-младший, L. Ван, Э. Сифакис и Дж. М. Теран, Метод виртуального узла второго порядка для эллиптических задач с интерфейсами и нерегулярными доменами в трех измерениях, J. Вычисл. Phys., 231 (2012), pp. 2015-2048 годы.
35.ЧАС. Джи и Ф.-S. Лянь и Э. Йи, Эффективный метод точных разрезов второго порядка для решения уравнения коэффициента Пуассона с переменными коэффициентами на нерегулярных областях, Инт. J. Число. Meth. Fluids, 52 (2006), pp. 723-748.
36.ЧАС. Йохансен и П. Colella, встроенный граничный метод Аартезианской решетки для уравнения Пуассона на нерегулярных областях, J. Вычисл. Phys., 147 (1998), pp. 60-85.
37.ЧАС. Йохансен и П. Colella, Встроенные граничные алгоритмы и программное обеспечение для уравнений с частными производными, J. Phys., 125 (2008), pp. 012084.
38.A. Карма и У.-J. Rappel, Количественное фазово-полевое моделирование роста дендритов в двух и трех измерениях, Physical Review E, 57 (1998), pp. 4323-4349.
39.J. Кокелькорен, Х. Левин и У. J. Раппель, Вычислительный подход для моделирования внутри- и внеклеточной динамики, Phys. Rev., E 68 (2003), p. 037702.
40.Р.J. Левек и З. Li, Метод погруженного интерфейса для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и сингулярными источниками, SIAM J. Число. Анальный., 31 (1994), pp. 1019-1044.
41.ЧАС. Левин и У. J. Раппель, Мембранно-ориентированные модели триангуляции, Physical Review E, 72 (2005).
42.ИКС. Ли, Дж. Lowengrub, A. R? Atz и А. Voigt, Решение pdes в сложных геометриях: диффузный подход к предмету, Communications in Mathematical Sciences, 7 (2009), pp. 81--107.
43.Z. Ли и К. Ito, Метод интерфейса погружения: численные решения PDE с участием интерфейсов и нерегулярных доменов, SIAM Front. Appl. Математика., 33 (2006).
44.Z. Li, P. Песня, адаптивная стратегия уточнения сетки для погруженных методов границы / интерфейса, Comm. Вычисл. Phys., 12 (2012), стр. 515-527.
45.Р. Лохнер и Дж.Р. Себрал и Ф.F. Камелли и Дж.D. Баум и Э.L. Местро и О.A. Сото, адаптивные встроенные / погруженные неструктурированные методы сеток, арх. Вычисл. Meth. Eng., 14 (2007), pp. 279-301.
46.S.ЧАС. Lui, Вложение спектральной области для эллиптических PDE в сложных областях, J. Вычисл. Appl. Математика., 225 (2009), pp. 541-557.
47.П. Маклин и Дж. Lowengrub, Развитие интерфейсов через градиенты зависимых от геометрии внутренних задач Пуассона: Применение для роста опухоли, J. Вычисл. Phys., 203 (2005), pp. 191-220oC.
48.П. Маклин и Дж. Lowengrub, новый метод призрачной ячейки / уровня для решения граничных задач: приложение к росту опухоли, J. Sci. Вычисл., 35 (2008), pp. 266-299.
49.М. Oevermann, C. Шарфенберг и Р. Клейн, Острый метод конечных объемов раздела для эллиптических уравнений на декартовых сетках, J. Вычисл. Phys., 228 (2009), pp. 5184-5206.
50.S. Ошер и Р. Fedkiw, методы набора уровней и динамические неявные поверхности, Springer (2003).
51.S. Ошер и Дж.A. Sethian, Fronts, распространяющиеся с зависящей от кривизны скоростью: Алгоритмы, основанные на формулировках Гамильтона-Якоби, J. Вычисл. Phys., 79 (1988), pp. 12-49.
52.J. Папак, Ф. Гибу и C. Ratsch, Эффективная симметричная дискретизация для задач Пуассона, тепла и типа Стефана с граничными условиями Робин, J. Вычисл. Phys., 229 (2010), pp. 875-889.
53.J. Папак, А. Хельгадоттир, C. Ратч и Ф. Gibou, Подход уровня уровня для диффузии и проблемы типа Стефана с граничными условиями Робинна на адаптивных декартовых сетках с квадрантом / октетом, J. Вычисл. Phys., 233 (2013), с. 241-261.
54.Р. L. Pego, Фронтальная миграция в нелинейном уравнении Кан-Хиллиарда, Труды Королевского общества A, 422 (1988), с. 261-278oC.
55.T. Прессер, М. Rumpf, S. Заутер и Л.O. Швен, трехмерные композиционные конечные элементы для эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами, SIAM J. Sci. Вычисл., 35 (2011), стр. 2115-2143.
56.Я. Ramiere, P. Ангот и М. Belliard, Общий фиктивный метод области с погруженными прыжками и многоуровневыми вложенными структурированными сетками, J. Вычисл. Phys., 225 (2007), pp. 1347-1387.
57.A. R? Atz и A. Voigt, PDE на поверхностях --- подход с диффузным интерфейсом, Commun. Математика. Sci., 4 (2006), pp. 575-590.
58.М. Г. Рейтер, Дж. С. Хилл и Р. J. Харрисон, Решение pdes в нерегулярных геометриях с помощью мультиразрешающих методов i: Граничные условия вложенного Дирихле, Computer Physics Communications, 183 (2012), с. 1--7.
59.J.A. Sethian, методы набора уровней и быстрые маршевые методы, Cambridge University Press (1999), ISBN 0-521-64557-3.
60.J.A. Сефиан и Я. Шана, Решение уравнений с частными производными на нерегулярных областях с движущимися границами, с приложениями к суперконформному электроосаждению в производстве полупроводников, J. Вычисл. Phys., 227 (2008), pp. 6411-6447.
61.К. E. Тейген, Х. Ли, Дж. Lowengrub, F. Ван и А. Voigt, диффузно-интерфейсный подход для моделирования переноса, диффузии и адсорбции / десорбции материальных величин на деформируемом интерфейсе, Communications in Mathematical Sciences, 7 (2009), pp. 1009-1037.
62.К.E. Тейген, П. Песня, А. Фойгт и Дж. Lowengrub, Метод диффузного интервала для двухфазных течений с растворимыми поверхностно-активными веществами, J. Вычисл. Phys., 230 (2011), pp. 375-393.
63.М. Тейярд, Л. F. Джодом, Дж.-L. Vi ?? и F. Гибоу, Четкий численный метод второго порядка для решения уравнений линейной упругости на нерегулярных областях и адаптивных сетках ??? Применение для оптимизации формы, J. Вычисл. Phys., 233 (2013), с. 430-448.
64.E. Uzgoren, J. Сим, и W. Shyy, Marker-based, 3-D адаптивный декартовы сетки метод для многофазных потоков вокруг нерегулярных, Comm. Вычисл. Phys., 5 (2009), pp. 1-41.
65.ИКС.ЧАС. Ван и З. Ли, Некоторые новые методы конечных разностей для уравнений Гельмгольца на нерегулярных областях или с интерфейсами, Диск. Продолж. Dyn. Sys. B, 17 (2012), стр. 1155-1175.
66.S. Мудрый, Дж. Ким и Дж. Lowengrub, Решение регуляризованного сильно анизотропного уравнения Кан-Хиллиарда адаптивным нелинейным многосеточным методом, Journal of Computational Physics, 226 (2007), pp. 414-446.
67.К. Ся, М. Жан и Г. Вей, MIB-метод для эллиптических уравнений с многофакторными интерфейсами, J. Вычисл. Phys., 230 (2011), pp. 4588-4615.
68.S. Чжао и Г. Вей, Согласованный интерфейс и граница (MIB) для реализации граничных условий в центральных конечных разностях высокого порядка, Инт. J. Число. Meth. Eng., 77 (2009), pp. 1690-1730 гг.
69.S. Чжао, Согласованный интерфейс и граничные методы высокого порядка для уравнения Гельмгольца в средах со сколь угодно изогнутыми границами, Дж. Вычисл. Phys., 229 (2010), pp. 3155-3170.
70.ИКС.L. Чжун, Новый метод погружения с высоким порядком решения эллиптических уравнений с вложенным интерфейсом разрыва, Дж. Вычисл. Phys., 225 (2007), pp. 1066-1099.
71.Y.С. Чжоу, С. Чжао, М. Фейг и Г.W. Вей, Согласованный интерфейс высокого порядка и граничный метод для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и сингулярными источниками, Дж. Вычисл. Phys., 213 (2006), pp. 1-30.
72.Y.С. Чжоу, Дж. Лю и Д.L. Гарри, Согласованный интерфейс и граничный метод для решения многомерных уравнений Навье-Стокса с приложениями к геодинамике, Дж. Вычисл. Phys., 231 (2012), pp. 223-242.
73.Y. Чжу, Y. Ван, Дж. Хелрунг, А. Кантареро, Э. Сифакис и Дж. М. Теран, Алгоритм виртуального узла второго порядка для почти несжимаемой линейной упругости в нерегулярных доменах, J. Вычисл. Phys., 231 (2012), pp. 7092-7117.

Эта публикация на других ресурсах

Портал arXiv.org

Другие публикации этих авторов
1.Методы конечных разностей массового консервативного и энергостабильного конечностей для квазинепрерывной системы Навье-Стокса-Кана-Хиллиарда: схемы примитивных переменных и проекционного типа
Джуо З. , Лин С. , Висе С. М., Ловенджруб Д. С.
2.Анализ сходимости для точных выпуклых схем разделения второго порядка для периодических нелокальных уравнений Аллена-Кана и Кан-Хиллиарда
Джуан З. , Ловенджруб Д. С., Вандж К. -.
3.Энергостабильная конечно-разностная схема для функционализированного уравнения Кан-Хиллиарда и его анализ сходимости
Фендж В. , Джуан З. , Ловенджруб Д. С., Вандж К. -., Висе С. М.
4.Энергостабильный многосеточный метод для локальных и нелокальных гидродинамических моделей для замораживания
Баскаран А. , Джуан З. , Ловенджруб Д. С.
5.Энергостабильные и эффективные конечно-разностные нелинейные многосеточные схемы для модифицированного уравнения поля в кристаллическом поле
Баскаран А. , Зхоу Ф. , Ху З. , Вандж К. -., Висе С. М., Ловенджруб Д. С.
6.Анализ сходимости схемы выпуклого расщепления второго порядка для уравнения поля модифицированного фазового поля
Баскаран А. , Ловенджруб Д. С., Вандж К. -., Висе С. М.
7.Класс Черна-Мазера многопланового сорта
Харрис К. , Ловенджруб Д. С.
8.Теорема об отмене для классов Сегре
Ловенджруб Д. С.
Другие публикации этой тематики
1.Параметрическая интерполяционная структура для одномерных скалярных законов сохранения с использованием принципа равных площадей
Мкджреджор Д. , Наве Д.
2.Формулировка интерфейса и высокие порядковые численные решения уравнений с частными производными с низкой регулярностью
Зхоу У. К., Джупта В.
3.Максимальный порядок полудискретных схем для квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка
Баеза А. , Мулет П. , Зорíо Д.
4.Конечный элемент для стационарного уравнения Гросса-Питаевского с вращением
Верджез Д. , Данаила И. , Аулиак С. , Хекхт Ф.
5.Быстрая платформа для моделирования гибких волоконных суспензий, применяемых к клеточной механике
Назоккдаст Е. , Рахимиан А. , Зорин Д. , Схеллеу М.
6.Компактные схемы высокого порядка для параболических задач со смешанными производными в многомерном пространстве
Дüриндж Б. , Хеуер К.
7.Энергонепрерывные DG-методы для системы Навье-Стокса-Кортевега
Джиесселманн Д. , Макридакис К. , Пруер Т.
8.PyClaw: доступные, расширяемые, масштабируемые инструменты для решения проблем распространения волн
Кеткхесон Д. И., Мандли К. Т., Ахмадиа А. Д., Алджхамди А. , Куезада М. , Парсани М. , Кнеплеу М. Д., Емметт М.
9.Новый класс консервативных больших временных шагов для моделей BGK уравнения Больцмана
Сантаджати П. , Руссо Д.
10.Некоторые приложения метода нормальных фундаментальных функций к задачам осцилляции
Мул О. В.