О новых свойствах некоторых многообразий почти полиномиального роста.

Авторы
ИзданиеЧебышевский сборник. Т. XVI. Вып. 2
Год издания2015
Город изданияТула

 При изучении разных математических структур хорошо известным и давно используемым в математике алгебраическим приемом является выделение классов объектов исследования с помощью тождеств. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений, А.И. Мальцев назвал многообразием линейных алгебр над заданным полем. Существует такое понятие как рост многообразия. В математическом анализе принято различать полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост. В данной работе речь пойдет о свойствах некоторых многообразий в разных классах линейных алгебр над полем нулевой характеристики, имеющих почти полиномиальный рост, то есть таких многообразий, рост которых не является полиномиальным, но рост любого собственного подмногообразия полиномиален. Статья носит обзорный характер и не содержит новых результатов. Один из разделов статьи посвящен описанию основных свойств ассоциативных, лиевых многообразий и многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста над полем нулевой характеристики. В случае ассоциативных алгебр таких многообразий всего два. В классе алгебр Ли четыре многообразия исчерпывают весь набор разрешимых лиевых многообразий почти полиномиального роста, а одно многообразие является неразрешимым и вопрос о его единственности до сих пор остается открытым. В случае алгебр Лейбница существует девять многообразий почти полиномиального роста. Пять из них это упомянутые многообразия алгебр Ли, которые также являются многообразиями алгебр Лейбница. Оставшиеся четыре это многообразия по свойствам схожие с разрешимыми лиевыми многообразиями почти полиномиального роста. Следующие два раздела мы посвятим описанию давно известных, а также полученных недавно характеристик двух лиевых многообразий почти полиномиального роста. В одном из разделов речь пойдет о найденной нами кодлине многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли sl2, которую образует множество всех матриц второго порядка со следом равным нулю над основным полем относительно операции коммутирования. Далее будет описан базис полилинейной части многообразия, состоящего из алгебр Ли с нильпотентным ступени не выше двух коммутантом. Здесь же мы представим явные формулы для вычисления его кодлин и коразмерностей. Последний раздел будет посвящен описанию базиса полилинейной части многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста, определенного тождеством x1(x2x3)(x4x5)  0:

Ссылка на публикацию
Пестова Ю. Р.  О новых свойствах некоторых многообразий почти полиномиального роста. - Тула: Изд-во ТГПУ им.Л.Н.Толстого, 2015. // Чебышевский сборник, 2015. Т. XVI. Вып. 2
Библиография
1.Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985. 448 с.
2.Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI. Vol. 122. 2005. 352 p.
3.Мальцев А. И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Математический сборник. 1950. Т. 26(68), № 1. С. 19–33.
4.Пестова Ю. Р. Кодлина многообразия, порожденного трехмерной простой алгеброй Ли sl2 // Вестник Моск. Унив-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2015. № 3. С. 58–61.
5.Мищенко С. П., Фятхутдинова Ю. Р. Новые свойства многообразия алгебр Ли N2A // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17, № 7. С. 165–173.
6.Мищенко С.П., Пестова Ю. Р. Базис полилинейной части многообразия алгебр Лейбница eV1 // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2014. № 3 (114). С. 72–78.
7.Berele A. Codimensions of products and of intersections of verbally prime Tideals // Izrael J.Math. 1998. № 103. P. 17–28.
8.Mishchenko S. A Leibniz variety with almost polynomial growth // J. Pure Appl. Algebra. 2005. V. 202. P. 82–101.
9.Krakowsky A. The polynomial identities of the Grassmann algebra // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. V. 181. P. 429–438.
10.Мищенко С. П. Рост многообразий алгебр Ли // Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, № 6. C. 25–45.
11.Мищенко С. П. О многообразиях разрешимых алгебр Ли // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 6. C. 1345–1348.
12.Мищенко С. П. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом // Весцi АН БССР: Сер. фiз. матем. наук. 1987. № 6. С. 39–43.
13.Воличенко И. Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами // Весцi АН БССР: Сер. фiз. матем. наук. 1980. № 1. C. 23–30.
14.Абанина Л. Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница [Текст] : дис. ... канд. физ-мат наук : 01.01.06. Ульяновск: УлГУ, 2003. 65 с.
15.Рацеев С. М. Структура и тождества некоторых алгебр лиевского типа : дис. ... канд. физ-мат наук : 01.01.06. Ульяновск: УлГУ, 2006. 101 с.
16.Абанина Л. Е. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. М.: Союз, 2002. С. 95–99.
17.Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, № 1. С. 83–113.
18.Размыслов Ю. П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, № 6. С. 685–693.
19.Дренски В. С. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр // Матем. сб. 1980. Т. 115, № 1. С. 98–115.