Processing math: 100%

Теоретический модуль

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, историческисложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формыобъектов. Математическиеобъекты создаются путём идеализации свойствреальных или других математических объектов и записи этих свойств наформальном языке. Математика не относится кестественным наукам, но широко используется вних как для точной формулировки их содержания, так и для получения новыхрезультатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая(общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет ихструктурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законовприроды.

Основныесведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в видеаксиом, либо перечисляются в определении соответствующихматематических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода изэтих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Этатеория в совокупности образуетматематическую модель исследуемогообъекта. Таким образом, первоначально, исходя из пространственных иколичественных соотношений, математика получает более абстрактныесоотношения, изучение которых также является предметом современнойматематики.Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённыйанализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую своимодели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из нихзанимают пограничное с математикой положение. В частности,формальная логика может рассматриваться и какчасть философских наук, и как часть математическихнаук; механика — и физика, и математика;информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как кинженерии, так и к математическим наукам и т. д.В литературе было предложено много различных определений математики.

Этимология

Слово «математика» произошло от , что означает изучение,знание, наука, и , первоначально означающеговосприимчивый, успевающий, позднее относящийся кизучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, ,на латыни ars mathematica, означаетискусство математики. Термин в современном значении этого слова«математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IVвек до н. э.). По мнению Фасмера в русский языкслово пришло либо через , либо через .В текстах на русском языке слово «математика» или«маѳематика» встречается, по крайней мере, с XVII века, например, уНиколая Спафария в «Книге избраннойвкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672год)

Определения

Одно из первых определений предмета математики далДекарт: К области математикиотносятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либомера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды,звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом,должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся кпорядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и этанаука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим вупотребление именем Всеобщей математики. В советское время классическимсчиталось определение изБСЭ, данное А. Н. Колмогоровым:Математика ... наука о количественных отношениях и пространственныхформах действительного мира. Это определениеЭнгельса; правда, далее Колмогоров поясняет,что все использованные термины надо понимать в самом расширенном иабстрактном смысле.Герман Вейль пессимистически оценил возможностьдать общепринятое определение предмета математики: Вопрос об основанияхматематики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика,остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит,в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ливообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудьполучен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческойдеятельности человека, подобно музицированию или литературномутворчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его историческихсудеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.

Обозначения

Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольносложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна.Современная система записи формулсформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а такжепотребностей возникших позднее разделов математики —математического анализа,математической логики,теории множеств и др. Геометрия испокон векапользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современнойматематике распространены также сложные графические системы записи(например, коммутативные диаграммы),нередко также применяются обозначения на основе графов.

Краткаяистория

Академиком А. Н. Колмогоровым предложенатакая структура истории математики:

  1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
  2. Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики``, преподаваемой в начальной и средней школе»);
  3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики``»;
  4. Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».
Развитие математикиначалось вместе с тем, как человек стал использоватьабстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простаяабстракция — числа; осмысление того, что два яблока идва апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именнозанимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышлениячеловека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретныеобъекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества,такие, как время: дни, сезоны,года. Из элементарного счёта естественным образом началаразвиваться арифметика: сложение, вычитание,умножение и деление чисел.Развитие математики опирается на письменность и умение записыватьчисла. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисованиячёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки,не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовыеданные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемыекипу. Существовало множество различныхсистем счисления. Первые известные записичисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданномегиптянамиСреднего царства.Индская цивилизация разработала современнуюдесятичную систему счисления,включающую концепцию нуля.Исторически основные математические дисциплины появились подвоздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, приизмерении земель и для предсказания астрономическихявлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этихсфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся визучении структур,пространств и изменений.

Философияматематики

Цели иметоды

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения междуними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия итеоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире.Главная задача прикладного раздела математики — создатьматематическую модель, достаточноадекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика— обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этойцели.Содержание математики можно определить как систему математическихмоделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитываетне все его черты, а только самые необходимые для целей изучения(идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мыможем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть неидеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсиновполучится, если мы сложим вместе два и три, — то можноабстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику— количество. Абстракция и установление связей между объектами всамом общем виде — одно из главных направлений математическоготворчества.Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение.Например, обобщая понятие «пространство» до пространстваn-измерений. «Пространство Rn, при n>3 являетсяматематической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, котораяпомогает математически разбираться в сложных явлениях».Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит припомощи аксиоматического метода: сначаладля исследуемых объектов формулируются список основных понятий иаксиом, а затем из аксиом с помощьюправил вывода получают содержательныетеоремы, в совокупности образующие математическуюмодель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математикиобсуждался со времён Платона. Начиная сXX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, чтонадлежит считать строгимматематическим доказательством,однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считатьизначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросахаксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и ввыборе логических систем, которыми следует придоказательствах пользоваться.Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данномувопросу.
agraphТеоретико-множественныйподходПредлагается рассматривать все математические объекты в рамках теориимножеств, чаще всего с аксиоматикойЦермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильныхей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако вдействительности большинство математических работ не ставят задачперевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируютпонятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики.Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, этоне повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.
agraphЛогицизмДанный подход предполагает строгую типизациюматематических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множествлишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.
agraphФормализмДанный подход предполагает изучение формальных систем на основеклассической логики.
agraphИнтуиционизмИнтуиционизм предполагает в основании математикиинтуиционистскуюлогику, более ограниченную в средствах доказательства (но, каксчитается, и более надёжную). Интуиционизм отвергаетдоказательство от противного,многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многиепроблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).
agraphКонструктивнаяматематикаКонструктивная математика — близкое к интуиционизму течение вматематике, изучающее конструктивные построения. Согласно критериюконструктивности — «существовать — значит бытьпостроенным» Критерий конструктивности — более сильноетребование, чем критерий непротиворечивости.