Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически
сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы
объектов. Математические
объекты создаются путём идеализации свойств
реальных или других математических объектов и записи этих свойств на
формальном языке. Математика не относится к
естественным наукам, но широко используется в
них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых
результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая
(общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их
структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов
природы.
Основные
сведения
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде
аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих
математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из
этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта
теория в совокупности образует
математическую модель исследуемого
объекта. Таким образом, первоначально, исходя из пространственных и
количественных соотношений, математика получает более абстрактные
соотношения, изучение которых также является предметом современной
математики.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый
анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои
модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них
занимают пограничное с математикой положение. В частности,
формальная логика может рассматриваться и как
часть философских наук, и как часть математических
наук; механика — и физика, и математика;
информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к
инженерии, так и к математическим наукам и т. д.
В литературе было предложено много различных определений математики.
Этимология
Слово «математика» произошло от , что означает
изучение,
знание,
наука, и , первоначально означающего
восприимчивый, успевающий, позднее
относящийся к
изучению, впоследствии
относящийся к математике. В частности, ,
на латыни
ars mathematica, означает
искусство математики. Термин в современном значении этого слова
«математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV
век до н. э.). По мнению Фасмера в русский язык
слово пришло либо через , либо через .
В текстах на русском языке слово «математика» или
«маѳематика» встречается, по крайней мере, с XVII века, например, у
Николая Спафария в «Книге избранной
вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672
год)
Определения
Одно из первых определений предмета математики дал
Декарт: К области математики
относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо
мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды,
звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом,
должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к
порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта
наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в
употребление именем Всеобщей математики. В советское время классическим
считалось определение из
БСЭ, данное А. Н. Колмогоровым:
Математика ... наука о количественных отношениях и пространственных
формах действительного мира. Это определение
Энгельса; правда, далее Колмогоров поясняет,
что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и
абстрактном смысле.
Герман Вейль пессимистически оценил возможность
дать общепринятое определение предмета математики: Вопрос об основаниях
математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика,
остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит,
в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли
вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь
получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой
деятельности человека, подобно музицированию или литературному
творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических
судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.
Обозначения
Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно
сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна.
Современная система записи формул
сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также
потребностей возникших позднее разделов математики —
математического анализа,
математической логики,
теории множеств и др. Геометрия испокон века
пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной
математике распространены также сложные графические системы записи
(например, коммутативные диаграммы),
нередко также применяются обозначения на основе графов.
Краткая
история
Академиком А. Н. Колмогоровым предложена
такая структура истории математики:
-
Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен
достаточно большой фактический материал;
-
Период элементарной математики, начинающийся в
VI—V веках до н. э. и
завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с
которыми имела дело математика до начала XVII века,
составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики``,
преподаваемой в начальной и средней школе»);
-
Период математики переменных величин, охватывающий
XVII—XVIII века, «который можно
условно назвать также периодом „высшей математики``»;
-
Период современной математики — математики
XIX—XX века, в ходе которого
математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета
математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу
систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных
типов количественных отношений и пространственных форм».
Развитие математики
началось вместе с тем, как человек стал использовать
абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая
абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и
два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно
занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления
человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные
объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества,
такие, как время: дни, сезоны,
года. Из элементарного счёта естественным образом начала
развиваться арифметика: сложение, вычитание,
умножение и деление чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать
числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования
чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки,
не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые
данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые
кипу. Существовало множество различных
систем счисления. Первые известные записи
чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном
египтянами
Среднего царства.
Индская цивилизация разработала современную
десятичную систему счисления,
включающую концепцию нуля.
Исторически основные математические дисциплины появились под
воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при
измерении земель и для предсказания астрономических
явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих
сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в
изучении структур,
пространств и изменений.
Философия
математики
Цели и
методы
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между
ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и
теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире.
Главная задача прикладного раздела математики — создать
математическую модель, достаточно
адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика
— обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой
цели.
Содержание математики можно определить как систему математических
моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает
не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения
(идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы
можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не
идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов
получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно
абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику
— количество. Абстракция и установление связей между объектами в
самом общем виде — одно из главных направлений математического
творчества.
Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение.
Например, обобщая понятие «пространство» до пространства
n-измерений. «
Пространство Rn, при n>3 является
математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая
помогает математически разбираться в сложных явлениях».
Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при
помощи аксиоматического метода: сначала
для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и
аксиом, а затем из аксиом с помощью
правил вывода получают содержательные
теоремы, в совокупности образующие математическую
модель.
Основания
Вопрос сущности и оснований математики
обсуждался со времён Платона. Начиная с
XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что
надлежит считать строгим
математическим доказательством,
однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать
изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах
аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в
выборе логических систем, которыми следует при
доказательствах пользоваться.
Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному
вопросу.
agraphТеоретико-множественный
подход
Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории
множеств, чаще всего с аксиоматикой
Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных
ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в
действительности большинство математических работ не ставят задач
перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют
понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики.
Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это
не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.
agraphЛогицизм
Данный подход предполагает строгую типизацию
математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств
лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.
agraphФормализм
Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе
классической логики.
agraphИнтуиционизм
Интуиционизм предполагает в основании математики
интуиционистскую
логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как
считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает
доказательство от противного,
многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие
проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).
agraphКонструктивная
математика
Конструктивная математика — близкое к интуиционизму течение в
математике, изучающее конструктивные построения. Согласно критерию
конструктивности — «
существовать — значит быть
построенным» Критерий конструктивности — более сильное
требование, чем критерий непротиворечивости.