Алгебра

 Алгебра — разделматематики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение ирасширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в общейалгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широкомсмысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучениюопераций над элементами множества произвольной природы, обобщающийобычные операции сложения и умножения чисел.

Классификация

Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории.

  • Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра.
  • Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля.
  • Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).
  • Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).
  • Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

Элементарнаяалгебра

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучаетсамые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятийарифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷)действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a, b,c, x, y и так далее). Такой подход полезен, потому что:

  • Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, a+b=b+a для любых a и b), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.
  • Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что 3x+1=10» или, в более общем случае, «Найти число x, такое, что ax+b=c». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)
  • Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали x билетов, то ваша прибыль составит 3x − 10 рублей, или f(x) = 3x − 10, где f — функция, и x — число, от которого зависит функция»)

Линейнаяалгебра

Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, илилинейные пространства, линейные отображения и системы линейныхуравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теориюматриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов(частично), тензорное исчисление (частично). Современная линейнаяалгебра делает акцент на изучении векторных пространств.Линейное, или векторное пространствоV(F) над полем F — это упорядоченная четвёрка(V,F,+,), гдеV — непустое множество элементов произвольной природы, которыеназываются векторами;F — (алгебраическое) поле, элементы которого называютсяскалярами;+:V+VV — операция сложения векторов, сопоставляющаякаждой паре элементов x,y множества Vединственный элемент множества V, обозначаемыйx+y;:F×VV — операция умножения векторов наскаляры, сопоставляющая каждому элементу λ поля F икаждому элементу x множества V единственный элементмножества V, обозначаемый λx;причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомамлинейного (векторного) пространства:

  1. x+y=y+x, для любых x,yV (коммутативность сложения);
  2. x+(y+z)=(x+y)+z, для любых x,y,zV (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент θV, что x+θ=x для любого xV (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности V не пусто;
  4. для любого xV существует такой элемент xV, что x+(x)=θ (существование противоположного элемента относительно сложения).
  5. α(βx)=(αβ)x (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. 1x=x (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
  7. (α+β)x=αx+βx (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
  8. α(x+y)=αx+αy(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другиепространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторногопространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуютгруппу относительно умножения, изоморфную группе невырожденныхквадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, вчастности, с теорией линейных представлений групп.Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторныхпространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своёотражение в некоторых разделах функционального анализа. Другиместественным обобщением является использование не поля, а произвольногокольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основныетеоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полеми модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории.

Общаяалгебра

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. Вней рассматриваются свойства операций над объектами независимо отсобственно природы объектов. Она включает в себя в первую очередь теориигрупп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видовалгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраическихсистем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп иквазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частичноупорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общейалгебре.Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнеститеорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли.

Теориягрупп

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией:G×GG называется группой (G,), есливыполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: (a,b,cG):(ab)c=a(bc);
  2. наличие нейтрального элемента: eGaG:(ea=ae=a);
  3. наличие обратного элемента: aGa1G:(aa1=a1a=e)
Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии иэквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и даланачало понятию группы, группы используются для описания симметрииуравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиальногоуравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественныхнауках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группыавтоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаигрупп.

Теорияколец

Кольцо — это множество R, на котором заданы двебинарные операции: + и × (называемые сложение иумножение), со следующими свойствами:

  1. a,bR(a+b=b+a) — коммутативность сложения;
  2. a,b,cR(a+(b+c))=((a+b)+c) — ассоциативность сложения;
  3. 0RaR(a+0=0+a=a) — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. aRbR(a+b=b+a=0) — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5. a,b,cR(a×b)×c=a×(b×c) — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы)
  6. a,b,cR{a×(b+c)=a×b+a×c(b+c)×a=b×a+c×a — дистрибутивность.

Универсальнаяалгебра

Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры,который занимается изучением характерных для всех алгебраических системсвойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустоемножество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарныхопераций над ним и конечноарных отношений:A=A,F,R,F=f1:An1A,fi:AniA,,R=r1Am1,riAmi,.Множество A в этом случае называется носителем (или основныммножеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с ихарностямиF,R,n1,ni,,m1mi, —её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называетсяуниверсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй),а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений,реляционной системой.В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальнаяалгебра (R,+,×), такая, что алгебра(R,+) — абелева группа, и операция +дистрибутивна слева и справа относительно ×. Кольцо называетсяассоциативным, если мультипликативный группоид являетсяполугруппой.Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так исопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмовEndA, группа всех автоморфизмовAutA, решётки всех подалгебрSubA и всех конгруэнцийConA.Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры.

Историческийочерк

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметическиедействия над натуральными числами и дробями — простейшиеалгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах.Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённыеуравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к нимотносятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московскогопапируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решениезадач было основано на правиле ложного положения. Это же правило,правда, крайне редко, использовали вавилоняне.Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели делотолько с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как незнали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне зналилибо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы иразности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствуетсовременной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени. Крометого, в Вавилоне была введена особая терминология, использовалисьшумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного(«длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного(«глубины»), а также различных производных величин («поля» какпроизведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины»,«ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами,так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря наявное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались ониотвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными. Длярешения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлятьразличные тождественные алгебраические преобразования, оперироватьнеизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач,для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами.После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагоналиквадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которогоспособствовал выбор геометрии как основы математики и определениеалгебраических операций для геометрических величин. Геометрическойалгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда иАполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедовбыли определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двухотрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказатьдистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество дляквадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии иприспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений. Вместес тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированныепифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построениеправильных многоугольников. Решение кубических уравнений получило своёразвитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидахи сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение x3+ax+b=0.Отдельные задачи решались с помощью конических сечений.Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл вработах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное числоон назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью —«куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб»,шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательныхстепеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знакаравенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого изодной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов.Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождениярациональной точки на кривой использует такие методы геометрическойалгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой илипровести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика»Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабскийязык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работыФерма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера,Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. Внастоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраическойгеометрии.За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первойстепени и их системы, а также квадратные уравнения (см. Математика вдевяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа.Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, тосокращений не было. В XIII веке китайцы открыли закон образованиябиномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». ВЕвропе он был открыт лишь 250 лет спустя. Слово «аль-джабр» приэтом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения вдругую и его буквальный смысл «восполнение».В XII веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурноеразвитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней.Распространения получили отрицательные и комплексные числа. Былодоказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решитьалгебраическим способом.Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебрыограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и системуравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началосьбурное развитие ряда новых отраслей техники. Появилисьэлектронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки ипередачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектированиеновых видов техники и их использование немыслимо без применениясовременной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены попринципу конечных автоматов. Для проектированияэлектронно-вычислительных машин и электронных схем используются методыбулевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны напринципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системахкомпьютерного поиска и хранения информации. Теория категорийиспользуется в задачах распознавания образов, определении семантикиязыков программирования, и других практических задачах. Кодирование идекодирование информации производится методами теории групп. Теориярекуррентных последовательностей используется в работе радаров.Экономические расчеты невозможны без использования теории графов.Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.