Вложенные радикалы

 В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например 525 , или более сложный пример 2+3+43 3.

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например: 3+22=1+2, 2313=123+4393. В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда R=a2b2c рационально: a±bc=a+R2±aR2. В частности, для комплексных чисел (c=1): a+bi=±(|z|+a2+i\sgn(b)|z|a2), где |z|=a2+b2.

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение x=2+2+2+2+ равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2: x22=2+2+2+=x; x2x2=0; x1=2,x2=1. Очевидно, что 1 не может являться значением исходного радикала. В общем случае: a+a+a+a+=1+1+4a2

Тривиальные случаи


  • Для квадратного корня: a+ba+ba+ba+b=b+b2+4a2;
  • Для корня степени n a+ba+ba+ba+bnnnnn=x, где x является решением уравнения xnbxa=0.

Нетривиальные случаи


  • Формула Рамануджана: x+n+a=ax+(n+a)2+xa(x+n)+(n+a)2+(x+n)a(x+2n)+(n+a)2+(x+2n)

Частные случаи

ϕ=1+1+1+ 2π=1212+121212+1212+1212