Тождества

Тождество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных, например: a2b2=(a+b)(ab) (a+b)2=a2+2ab+b2 Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. 252=625. Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается символом «». Не любое равенство является тождеством. Например, равенство x+2=5 имеет место не при всяком значении x, а только при x=3. Поэтому оно не является тождеством.

Тождественность на заданном множестве

В тех случаях, когда тождества выполняется не для всех возможных переменных, говорят, что выражения тождественны на некотором множестве. Примеры:

  • выражение a2a=a тождественно при любом a, кроме a=0.
  • выражение ab=ab тождественно только для неотрицательных вещественных чисел.
  • выражение a2b2=(a+b)(ab) тождественно в полях вещественных и комплексных чисел, однако не тождественно в кольцах кватернионов, квадратных матриц и других математических объектов, для которых не выполняется переместительный закон: abba.