Метод неопределённых коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби. Пусть P и Q — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена P меньше степени многочлена Q. Будем полагать, что степень многочлена Q равна n, коэффициент при старшем члене многочлена Q равен 1, а zk, kn ― различные корни многочлена Q с кратностями αk1, соответственно. Отсюда имеем Q(z)=(zz1)α1(zz2)α2..(zzk)αk, α1+α2+...+αk=n, Функция P/Q представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей P(z)Q(z)=i=1kj=1αiAi,j(zzi)j, где Ai,j ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно n). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно Ai,j. Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если Q имеет только некратные корни zk, k=1,...,n, т.е. все αk=1 и P(z)Q(z)=i=1nAizzi. После умножения на zzk последнего равенства и подстановки z=zk непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента
Ak=p(zk)ik(zkzi),k=1,...,n.
.

Интегрирование

При вычислении неопределённого интеграла от рациональной функции метод неопределённых коэффициентов используется при разложении дроби на сумму простейших, как описано выше, а также в методе Остроградского, применяемом если корни знаменателя дроби имеют большую кратность. Он также используется при интегрировании иррациональностей вида Pn(x)ax2+bx+c, где Pn(x) многочлен степени n. Тогда Pn(x)ax2+bx+cdx=Pn1(x)ax2+bx+c+λdxax2+bx+c. После дифференцирования этого равенства, решая систему уравнений, определяют неопределённые коэффициенты многочлена Pn1(x) степени n-1, а также λ.

Обращение ряда

Если функция f(x), не равная нулю при x=0 разложена в ряд Маклорена: f(x)=a1x+a2x2+, то существует ряд Маклорена противоположной функции: 1/f(x)=b1x+b2x2+, Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты. Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции: g(x)=c1x+c2x2+, При этом используется соотношение g(f(x))=x, то есть весь ряд для f(x) подставляется вместо x в ряд для g(x).

Сумма степеней

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: i=0nik. Будем искать ответ в виде многочлена k+1-ой степени от n. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов. Пример. Ищем i=0ni3 в виде p(n)=an4+bn3+cn2+dn+e. По определению p(n)p(n1)=n3, а также p(1)=1. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения: \{begin\{cases\} 4 a-1=0\{\{ -6a+3b=0\{\{ 4 a - 3 b + 2 c = 0\{\{ -a + b - c + d =0\{\{ a+b+c+d+e=1 \{end\{cases\}, откуда получаем ответ: i=0ni3=14n4+12n3+14n2=n2(n+1)24

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения Δp(n)=n3, здесь же ищется решение уравнения anf(n)(x)++a2f(x)+a1f(x)+a0f(x)=g(x). Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.