Математический анализ

Анализ как современный раздел математики — значительная частьматематики, исторически выросшая из классического математическогоанализа, и охватывающая, кроме дифференциального и интегральногоисчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теориифункций вещественной и комплексной переменной, теории дифференциальных иинтегральных уравнений, вариационное исчисление, гармонический анализ,функциональный анализ, теорию динамических систем и эргодическую теорию,глобальный анализ. Нестандартный анализ — раздел на стыкематематической логики и анализа, применяющий методы теории моделей дляальтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.Считается одним из трёх основных направлений математики, наряду салгеброй и геометрией. Основной отличительный признак анализа всравнении с другими направлениями — наличие функций переменных величинкак предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа вучебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй(например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием«Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительнойстепени использует методы современных геометрических разделов, преждевсего, дифференциальной геометрии и топологии.

История

Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теорияобыкновенных дифференциальных уравнений (Эйлер, Иоганн Бернулли,Д'Аламбер), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж), теорияаналитических функций (Лагранж, Коши, впоследствии — Риман), началиобособляться ещё в XVIII — первой половине XIX века. Однако началомформирования анализа как самостоятельного современного раздела считаютсятруды середины XIX века по формализации ключевых понятий классическогоанализа — вещественного числа, функции, предела, интеграла, преждевсего, в трудах Коши и Больцано, и приобретшие законченную форму к1870-м — 1880-м годам в работах Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Вэтой связи сформировались теория функций вещественной переменной и, вразвитии методов работы с аналитическими функциями, — теория функцийкомплексной переменной. Созданная Кантором в конце XIX века наивнаятеория множеств дала толчок к появлению понятий метрического итопологического пространств, что в значительной мере изменило весьинструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов ипереместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.В начале XX века в основном силами французской математической школы(Жордан, Борель, Лебег, Бэр) была создана теория меры, благодаря которойобобщено понятие интеграла, а также построена теория функцийдействительной переменной. Также в начале XX века начал формироватьсяфункциональный анализ как самостоятельный подраздел современногоанализа, изучающий топологические векторные пространства и ихотображения. Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар, обозначая ветвьвариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX вековгруппой итальянских и французских математиков (в их числе — Вольтерра,Арцела). В 1900 году Фредгольм публикует статью об интегральныхуравнения, как давшую толчок для развития теории интегральных уравнений,развития общей теории интегрирования (Лебег), так и формированияфункционального анализа. В 1906 году в работе Гильберта очерченаспектральная теория, в том же году опубликована работа Фреше, в которойвпервые в анализ введены абстрактные метрические пространства. В1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые примененыобщетопологические методы к анализу (Хаусдорф), освоены функциональныепространства и начато формирование общей теории нормированныхпространств (Гильберт, Рис, Банах, Хан). В период 1929—1932 годовсформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств (Джон фонНейман, Маршалл Стоун, Рис). В 1936 году Соболевым сформулированопонятие обобщённой функции (позднее в 1940-х годах независимо от него кподобному понятию пришёл Лоран Шварц), получившее широкоераспространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применениев приложениях (например, обобщённой является δ-функция Дирака).В 1930-е — 1950-е годы в функциональном анализе получены значительныерезультаты за счёт применения общеалгебраических инструментов (векторныерешётки, операторные алгебры, банаховы алгебры).К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направлениякак теория динамических систем и эргодическая теория (Джордж Биркгоф,Колмогоров, фон Нейман), существенно обобщены результаты гармоническогоанализа за счёт применения общеалгебраических средств — топологическихгрупп и представлений (Вейль, , Понтрягин). Начиная с 1940-х — 1950-хгодов методы функционального анализа нашли применение в прикладныхсферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х — 1940-х годовинструменты функционального анализа использованы в вычислительнойматематике и экономике (линейное программирование). В 1950-е годы втрудах Понтрягина и учеников в развитие методов вариационного исчислениясоздана теория оптимального управления.Начиная со второй половины XX века с развитием дифференциальнойтопологии к анализу примкнуло новое направление — анализ намногообразиях, получившее название «глобальный анализ», фактическиначавшее формироваться ранее, в 1920-е годы в рамках теории Морса какобобщение вариационного исчисления (называемое Морсом «вариационноеисчисление в целом», ). К этому направлению относят созданные в развитиетеории бифуркаций динамических систем (Андронов) такие направления, кактеорию особенностей (Уитни, 1955) и теорию катастроф (Том, 1959 и ,1965), получившие в 1970-е годы развитие в работах и Арнольда.В начале 1960-х годов Робинсоном создан нестандартный анализ —альтернативная формализация как классических, так и смежных областейанализа с использованием инструментария теории моделей. Если вначаленестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техникаобоснования плохо формализованных в классических разделах понятий(прежде всего, бесконечно больших и бесконечно малых величин), то сразработкой в конце 1970-х годов и последовавших обобщений,обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимыпрактически во всех отраслях математики, как естественно присущие любымматематическим объектам. Кроме того, благодаря выразительности языканестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые небыли обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально моглибы быть получены и стандартными, классическими средствами. Также в1970-е — 1980-е годы в развитие метода форсинга (созданного Коэном длядоказательства неразрешимости в ZFC континуум-гипотезы) в работахСоловея, Скотта и разработана теория , на основе которой оформиласьсамостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ.

Классический математическийанализ

Классический математический анализ — раздел, фактически полностьюсоответствующий историческому «анализу бесконечно малых», состоит издвух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений.Основные понятия — предел функции, дифференциал, производная,интеграл, главные результаты — формула Ньютона — Лейбница,связывающая определённый интеграл и первообразную и ряд Тейлора —разложение в ряд бесконечно дифференцируемой функции в окрестноститочки.Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этотклассический раздел, при этом он используется в основном в учебныхпрограммах и материалах. При этом изучение основ анализа входит вбольшинство среднеобразовательных программ, а более или менее полноеизучение предмета включено в программы первых лет высшего образованиядля широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. Вангло-американской образовательной традиции для обозначенияклассического математического анализа используется термин «исчисление».

Теория функций вещественнойпеременной

Теория функций вещественной переменной (иногда именуетсякратко — теория функций) возникла вследствие формализациипонятий вещественного числа и функции: если в классических разделаханализа рассматривались только функции, возникающие в конкретныхзадачах, естественным образом, то в теории функций сами функциистановятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения ихсвойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функцийвещественной переменной — факт, что непрерывная функция может не иметьпроизводной ни в одной точке (притом согласно более раннимпредставлениям классического математического анализа дифференцируемостьвсех непрерывных функций не подвергалась сомнению).Основные направления теории функций вещественной переменной:

  • теория меры, в качестве основного инструмента использует понятия меры множества и измеримой функции, на основе которых вводятся более общими способами, чем в классическом анализе, и исследуются интегрирование и дифференцирование, особым образом вводится понятие сходимости, изучается достаточно широкий класс разрывных функций;
  • дескриптивная теория функций вещественной переменной, изучающая классификации функций средствами дескриптивной теории множеств (основной результат — классы Бэра);
  • конструктивная теория функций, исследующая задачи приближения и интерполяции функций вещественной переменной (развитая в трудах Чебышёва и Бернштейна).

Теория функций комплекснойпеременной

Предмет изучения теории функций комплексной переменной — числовыефункции, определённые на комплексной плоскости \C1 или комплексномевклидовом пространстве \Cn, при этом наиболее тщательно изученыаналитические функции, играющие важную связующую роль практически длявсех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитическойфункции обобщено для произвольных банаховых пространств, тем самыммногие результаты теории функций комплексной переменной нашли обобщениев функциональном анализе.

Функциональныйанализ

Функциональный анализ как раздел характеризуется наличием в качествепредмета изучения топологических векторных пространств и их отображенийс наложенными на них различными алгебраическими и топологическимиусловиями. Центральную роль в функциональном анализе играютфункциональные пространства, классический пример — пространстваLp всех измеримых функций, чья p-я степень интегрируема; приэтом уже L2 — бесконечномерное пространство (гильбертовопространство), и пространства бесконечных размерностей присущифункциональному анализу настолько, что иногда весь раздел определяетсякак часть математики, изучающая бесконечномерные пространства и ихотображения. Важнейшей формой пространств в классических разделахфункционального анализа являются банаховы пространства — нормированныевекторные пространства, полные по метрике, порождённой нормой:значительная доля интересных на практике пространств являются таковыми,среди них — все гильбертовы пространства, пространства Lp,пространства Харди, пространства Соболева. Важную роль играют вфункциональном анализе играют алгебраические структуры, являющиесябанаховыми пространствами — банаховы решётки и банаховы алгебры (в томчисле — , алгебры фон Неймана).Теория операторов, изучающая ограниченные линейные операторы — крупныйподраздел функционального анализа, включающий спектральную теорию,теории различных классов операторов (в частности, компактные,фредгольмовы, замкнутые операторы), теории операторов на специальныхнормированных пространствах (на гильбертовых пространствах —самосопряжённые, нормальные, унитарные, положительные операторы, нафункциональных пространствах — дифференциальные,псевдодифференциальные, интегральные и псевдоинтегральные операторы идругие), теорию инвариантных подпространств, теории классовоператоров — операторные алгебры, операторные полугруппы и другие.

Вариационноеисчисление

Основной объект изучения вариационного исчисления — вариациифункционалов, при помощи которых решаются экстремальные задачи,зависящие от выбора одной или нескольких переменных функций. Типичнаявариационная задача — отыскание функции, которая удовлетворяет условиюстационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции,бесконечно малые возмущения которой не вызывают изменения функционала поменьшей мере в первом порядке малости. Классическое вариационноеисчисление оказало большое инструментальное влияние на многие разделыфизики (вариационные принципы механики, также нашло широкое применение вэлектродинамике, квантовой механике). Теория оптимального управления —применение методов вариационного исчисления для существенно болееширокого класса задач: определения наилучших параметров систем, вусловиях когда управляющие параметры могут принимать и граничныезначения.

Гармоническийанализ

Основной принцип гармонического анализа — сведение задач анализа кисследованию инструментами для гармонических функций и их обобщений.Классический гармонический анализа включает в качестве основных средствтеории тригонометрических рядов, преобразований Фурье, , рядов Дирихле.В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены дляабстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара ипредставления групп. Важнейший результат коммутативного гармоническогоанализа — теорема Понтрягина о двойственности, благодаря которойотносительно простыми общеалгебраическими средствами описываютсяпрактически все классические результаты гармонического анализа.Дальнейшее развитие теории — некоммутативный гармонический анализ,имеющий важные приложения в квантовой механике.

Дифференциальные и интегральныеуравнения

В связи с дифференциальными уравнениями в анализе выделяется дваосновных направления — теория обыкновенных дифференциальных уравненийи теория дифференциальных уравнений в частных производных (в учебныхматериалах и некоторых классификациях фигурирующая как «уравненияматематической физики», так как исследование такого класса уравненийсоставляет основное наполнение математической физики).В теории интегральных уравнений, кроме классических методов решения,выделяются такие направления, как теория Фредгольма, оказавшая заметноевлияние на формирование функционального анализа как самостоятельногораздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертовапространства.

Теория динамических систем и эргодическаятеория

Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качествесамостоятельных разделов выделились теория динамических систем,изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическаятеория, нацеленная на обоснование статистической физики. Несмотря наприкладной характер задач, к этим разделам относится широкий пластпонятий и методов общематемического значения, в частности, таковыпонятия устойчивости и эргодичности.

Глобальныйанализ

Глобальный анализ — раздел анализа, изучающий функции идифференциальные уравнения на многообразиях и векторных расслоениях;иногда это направление обозначается как «анализ на многообразиях».Одно из первых направлений глобального анализа — теория Морса и еёприменение к задачам о геодезических на римановых многообразиях;направление получило название «вариационное исчисление в целом».Основные результаты — лемма Морса, описывающая поведение гладкихфункций на гладких многообразиях в невырожденных особых точках, и такойгомотопический инвариант, как категория Люстерника — Шнирельмана.Многие из конструкций и утверждений обобщены на случай бесконечномерныхмногообразий (, ). Результаты, полученные в рамках глобального анализаособых точек нашли широкое и для решения чисто топологических задач,такова, например, , во многом послужившая основанием длясамостоятельного раздела математики — K-теории, а также теорема обh-кобордизме, следствием которой является выполнение гипотезыПуанкаре для размерности, превосходящей 4.Ещё один крупный блок направлений глобального анализа, получившийширокое применение в физике и экономике — теория особенностей, теориябифуркаций и теория катастроф; основное направление исследований данногоблока — классификация поведений дифференциальных уравнений или функцийв окрестностях критических точек и выявление характерных особенностейсоответствующих классов.

Нестандартныйанализ

Нестандартный анализ — формализация ключевых понятий анализасредствами математической логики, основная идея — формальнаяактуализация бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическаяформализация манипуляций с ними. При этом средства нестандартногоанализа оказываются весьма удобными: ими получены результаты, ранее ненайденные классическими средствами из-за недостатка наглядности.Нестандартный анализ разбивается на два направления: семантическое,использующее на теоретико-модельные инструменты и синтаксическое,использующие разного рода расширения стандартной теории множеств.Семантическое направление базируется на локальной теореме Мальцева,позволяющей переносить свойства с локальных частей моделей на всюмодель. Существует крупная самостоятельная ветвь семантическогонаправления нестандартного анализа — булевозначный анализ,конструирующийся вокруг понятия . Синтаксическое направлениеосновывается на , ключевой идеей которого является введение понятиянестандартных элементов и предиката стандартности, и аксиоматизацияприсущих им свойств. Другой вариант синтаксической формализации — .

Приложения