Абсолютная непрерывность

Абсолютная непрерывность — в математическом анализе, свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега, естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функции

Функция f(x) называется абсолютно непрерывной функцией на конечном или бесконечном отрезке, если ε>0, \existδ>0 такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов (xi,yi) области определения функции f, который удовлетворяет условию |yixi|<δ, выполнено |f(yi)f(xi)|<ε. Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

Свойства


  • Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.
  • Абсолютно непрерывные функции образуют векторное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.
  • Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
  • Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
  • Пусть F абсолютно непрерывная функция на [a,b]. Тогда она почти всюду дифференцируема; обобщённая производная F интегрируема по Лебегу и для всех x[a,b] выполняется равенство
axF(t)dt=F(x)F(a)
.

  • Обратно, функция, имеющая на интервале интегрируемую по Лебегу обобщённую производную, является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества лебеговой меры ноль.
  • Если функция f(x) абсолютно непрерывна на отрезке [a,b] и F(y) абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения f(x), то для того, чтобы суперпозиция F[f(x)] была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией (теорема Фихтенгольца).
  • Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина.

Примеры


  • Любая липшицева функция является абсолютно непрерывной.
Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

  • функция Кантора;
  • функция
f(x)={0,if x=0xsin(1/x),if x0
на конечных интервалах, содержащих 0;

  • функция f(x)=x2 на неограниченных интервалах.