Анализ функций многих переменных

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.

Типичные операции

Пределы и непрерывность

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция f(x,y)=x2yx4+y2 стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы y=x2, предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует. Функция f(x1,,xn) имеет пределом число A при стремлении переменных x1,,xn, соответственно, к a1,,an, если для каждого числа ε>0 найдется такое число δ>0, что |f(x1,,xn)A)|<ε, то есть |x1a1|<δ,,|xnan|<δ. Функция u=f(M) называется непрерывной в точке A, если предельное значение этой функции в точке A существует и равно частному значению f(A). Функция u=f(M) называется непрерывной на множестве M, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной

Понятие частной производной неизбежно возникает при попытке дифференцирования многомерных функции и в геометрическом смысле является производной от её части, на пересекающей в точке определения плоскости, которая в случае рассмотрения декартовой прямоугольной системы координат параллельна плоскости (O,xk,f), где О — точка пересечения координатных осей; xk — частный аргумент точки дифференцирования; f — ордината точки. Рассматриваемая производная n-мерной функции будет обозначается как f(x1...xk...xn)xk, что есть её дифференцирование по одному из аргументов: f(x1...xk...xn)xk=limΔx0f(x1...xk+Δxk...xn)f(x1...xk...xn)Δxk, где xk — определенный аргумент; а символ является видоизмененной записью dx и отдельно не употребляется. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла () используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции. Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование

Интеграл Xf(x1,,xn)dx1dxn называется кратным интегралом, если n>1. В случае n=2 он называется двойным, в случае n=3 — тройным интегралом, а в случае произвольного nN — n-кратным. Его обозначают также Xf(x)dx. При такой записи под символом x следует понимать точку x=(x1,x2,,xn) пространства En, под символом dx — произведение dx=dx1dx2dxn, а под знаком D — n-кратный интеграл по n-мерной области D. Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции многих переменных. Двойные интегралы могут использоваться для вычисления объемов областей в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл. Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

  • Теорема Ньютона — Лейбница
  • Теорема Стокса
  • Теорема Остроградского — Гаусса
  • Теорема Грина
При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.

Применение

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.
Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику. Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические (случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.