Ограниченное множество

 В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Ограниченное числовое множество

Множество вещественных чисел XR называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b:
bx(xXxb)
Множество вещественных чисел XR называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше b: bx(xXxb) Множество XR, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным. Множество XR, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу. Примером ограниченного множества является отрезок [a,b]={axb}, неограниченного — множество всех целых чисел Z={,2,1,0,1,2,}, ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч x<0, ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч x>0.

Вариации и обобщения

Ограниченное множество в метрическом пространстве

Пусть (X,ρ) — метрическое пространство. Множество MX называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре Br(a):
aX(r>0)xX(xMρ(a,x)<r)
Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. В отличие от числовой прямой, в произвольном метрическом пространстве нельзя ввести понятия ограниченного сверху и ограниченного снизу множеств. Помимо понятия ограниченного множества для произвольного метрического пространства существует более специальное понятие вполне ограниченного множества. В случае числовых множеств это понятие совпадает с понятием ограниченного множества.

Ограниченность в частично упорядоченном множестве

Понятия ограниченного сверху, ограниченного снизу и просто ограниченного множества можно ввести в произвольном частично упорядоченном множестве. Эти определения буквально повторяют соответствующие определения для числовых множеств. Пусть (P,) — частично упорядоченное множество, SP. Множество S называется ограниченным сверху, если
bx(xSxb)
ограниченным снизу, если
bx(xSxb)
Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.