Дедекиндово сечение

Дедекиндово сечение (или узкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных. Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

История

Метод был введён Дедекиндом. Это же построение неявно присутствует в «Началах» Евклида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом: \beginquote Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12). \endquote

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел Q на два подмножества A и B такие, что:

  1. $a
  2. B не имеет минимального элемента.

Примеры

Файл:Dedekind cut- square root of two.pngthumbright200pxДедекиндово сечение √2 точной нижней грани множества B.