Плотность множества

Плотность (измеримого) множества E на вещественной прямой \R, в точке x ― предел (если он существует) отношения $$\lim_{| где D$$ ― произвольный отрезок, содержащий $x$, а $|D|$ ― его мера Лебега. Если вместо меры рассматривать внешнюю меру, то получится определение внешней плотности E в точке x. Аналогично вводится плотность в n-мерном пространстве. При этом длины отрезков заменяются объёмами соответствующих n-мерных параллелепипедов с гранями, параллельными координатным плоскостям, а предел рассматривается при стремлении к нулю диаметра параллелепипеда. Для множеств из \R оказывается полезным понятие правой (левой) плотности E в точке x, которое получается из общего определения, если в нём рассматривать лишь отрезки D, имеющие левым (правым) концом точку x.

Связанные определения


  • Точка плотности — точка, в которой плотность равна единице.
    • Почти все точки измеримого множества суть его точки плотности.

  • Точка разрежения — точка, в которой плотность равна нулю.