Постоянная Голомба Дикмана

 В математике константа Голомба-Дикмана появляется при исследовании случайных перестановок и в теории чисел. Константа равна
λ=0.62432998854355087099293638310083724.

Определения

Пусть an – средняя длина наиболее длинного цикла перестановки, взятая по всем перестановкам множества из n элементов. Тогда константа Голомба-Дикмана равна λ=limnann. На языке теории вероятностей λn является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из n элементов. В теории чисел константа Голомба-Дикмана появляется в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа. Точнее,
λ=limn1nk=2nlog(P1(k))log(k),
где P1(k) – наибольший простой делитель числа k. Таким образом, если kd-значное десятичное целое, то λd является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе k. Константа Голомба-Дикмана появляется в теории чисел и другим путём. Какова вероятность того, что второй по величине простой делитель числа n меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя n? Асимптотически эта вероятность равна λ. Точнее,
λ=limnProb{P2(n)P1(n)}
где P2(n) – второй по величине простой делитель n.

Формулы

Существует несколько представлений λ. А именно,
λ=0etEi1(t)dt
, где Ei1(t) (также используется обозначение E1(t)) — модифицированная интегральная показательная функция,
λ=0ρ(t)t+2dt
и
λ=0ρ(t)(t+1)2dt
где ρ(t) – это функция Дикмана.

Приложения

Аналогичный результат возникает в проблеме ста заключенных в статистике случайных перестановок: асимптотически доля перестановок с циклом длины больше n/2 равна log20.693.