Доказательства из Книги

«Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней» — популярная книга по математике Мартина Айгнера и . Книга посвящена Палу Эрдёшу, который часто называл «Книгой» место в котором Бог хранит лучшие доказательства математических теорем. В своей лекции в 1985 году Эрдёш сказал: «Верить в Бога не обязательно, но в Книгу верить стоит». Книга выдержала пять изданий на английском языке, дважды издавалась на русском. Была переведена также на венгерский, испанский, итальянский, китайский, корейский, немецкий, персидский, польский, португальский, турецкий французский и японский языки.

Содержание

Первое издание «Доказательства из Книги» содержало 32 главы, пятое — 44. Каждая глава посвящена одной теореме; часто обсуждается несколько доказательств, а также близкие результаты. Книга охватывает широкий круг математических областей: теорию чисел, геометрию, анализ, комбинаторику и в частности теорию графов. Сам Эрдеш вносил много предложений по книге, но умер до публикации.

Темы


Теория чисел 

  • Шесть доказательств бесконечности множества простых чисел
  • Постулат Бертрана
  • Биномиальные коэффициенты (почти) никогда не являются степенями
  • Представления чисел в виде сумм двух квадратов
  • Закон взаимности квадратичных вычетов
  • Каждое конечное кольцо с делением — поле
  • Некоторые иррациональные числа
  • Три раза о π2/6

Геометрия 

  • Третья проблема Гильберта: разбиения многогранников
  • Прямые на плоскости и разложения графов
  • Задача о направлениях
  • Три применения формулы Эйлера
  • Теорема Коши о жесткости
  • Касание симплексов
  • Каждое большое точечное множество имеет тупой угол
  • Гипотеза Борсука

Математический анализ 

  • Множества, функции и гипотеза континуума
  • Во славу неравенств
  • Основная теорема алгебры
  • Один квадрат и нечётное число треугольников
  • Теорема Пойа о многочленах
  • О лемме Литтлвуда и Оффорда
  • Котангенс и прием Герглотца
  • Задача Бюффона об игле

Комбинаторика 

  • Принцип Дирихле и двойной счёт
  • Плиточные разбиения прямоугольников
  • Три знаменитых теоремы о конечных множествах
  • Тасование карт
  • Пути на решетке и определители
  • Формула Кэли для числа деревьев
  • Тождества и биекции
  • Дополнения до полных латинских квадратов

Теория графов 

  • Задача Диница
  • Задача о пяти красках для плоских графов
  • Как охранять музей (Задача о картинной галерее)
  • Теорема Турана о графах
  • Связь без ошибок
  • Хроматическое число графов Кнезера
  • О друзьях и политиках
  • Вероятность (иногда) упрощает перечисление