Алгебраические уравнения

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение, многочленное уравнение) — уравнение вида P(x1,x2,,xn)=0, где P — многочлен от переменных x1,,xn, которые называются неизвестными. Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x1,x2,,xn)=0 называется алгебраическим уравнением над полем ${F$. Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P. Например, уравнение y4+xy2+y2z5+x3xy2+3x2sin1=0 является алгебраическим уравнением 7-й степени от 3 переменных (с 3 неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения

Значения переменных x1,,xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры алгебраических уравнений


  • Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида a0xn+a1xn1++an=0, где n — натуральное число.
  • Линейное уравнение
    • от одной переменной: ax+b=0,a0.
    • от нескольких переменных: a1x1+a2x2++anxn+b=0.

  • Квадратное уравнение
    • от одной переменной: ax2+bx+c=0,a0.

  • Кубическое уравнение
    • от одной переменной: ax3+bx2+cx+d=0,a0.

  • Уравнение четвёртой степени
    • от одной переменной: ax4+bx3+cx2+dx+e=0,a0.

  • Уравнение пятой степени
    • от одной переменной: ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0,a0.

  • Уравнение шестой степени
    • от одной переменной: ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g=0,a0.

  • Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: anxn+an1xn1+...+a1x+a0=0, коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если ank=ak,, при k=0,1,,n.