Уравнение с параметрами

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:

  1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
  2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными. Пример линейного уравнения с параметром: a\{,x+1=4, Пример нелинейного уравнения с параметром: \{mbox\{log\}\_\{x\^2\}\{frac\{a+3\}\{7-x\}=5, где x — независимая переменная a — параметр. Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Примеры

Пример 1.При каком a квадратное уравнение x2+3xa=0 имеет ровно один корень? Решение. Любое квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения: D=9+4a. Далее имеем: 9+4a=0, откуда a=94. Ответ:a=94. Пример 2. При каком a система уравнений : {x2+y22ax2y8+a2=0,x2+y24x2y+1=0. имеет ровно два решения? Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты: {x2+y22ax2y8+a2=0,x2+y24x2y+1=0 {(x22ax+a2)+(y22y+1)=9,(x24x+4)+(y22y+1)=4 {(xa)2+(y1)2=9,(x2)2+(y1)2=4 Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть не что иное, как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке (a;1), радиус 3, а вторая центр в точке (2;1) и радиус 2. Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две в том случае, если a(3;1)(3;7). И задачу можно считать решённой. Ответ:a(3;1)(3;7). Пример 3. При всех a решить неравенство ax2+(a+1)x+10. Решение. Рассмотрим три случая:

  1. Если a=0, то неравенство приобретает вид x+10x(1;+);
  2. Если a0, то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде x(;x1][x2;+), где x1,x2 - корни многочлена и x1x2. Далее находим: x1=a1a2+2a+14a2ax1=a1|a1|2a={1,a1,1a,0a1
x2={1a,a1,1,0a1 Следовательно, x(;1][1a;+), если a1 и x(;1a][1;+), если 0a1. 3. Если a0, то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так: x[x1;x2]x[1;1a]. Нам остается лишь записать ответ. Ответ: если a=0, то x(1;+); если a1, то x(;1][1a;+); если 0a1, то x(;1a][1;+); если a0, то x[1;1a].