Функциональные уравнения

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

Функциональному уравнению: f(s)=2sπs1sin(πs2)Γ(1s)f(1s), где Γ(z) — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана ζ. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений: f(x)=f(x+1)x f(y)f(y+12)=π22y1f(2y) f(z)f(1z)=πsin(πz) (формула дополнения Эйлера) Функциональное уравнение: f(az+bcz+d)=(cz+d)kf(z), где a,b,c,d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству adbc=1, то есть: |abcd|=1, определяет f как модулярную форму порядка k. Функциональные уравнения Коши:

  • f(x+y)=f(x)+f(y) — удовлетворяют все линейные однородные функции f(x)=ax,
  • f(x+y)=f(x)f(y) — удовлетворяют все показательные функции f(x)=exp(αx)=ax,
  • f(xy)=f(x)+f(y) — удовлетворяют все логарифмические функции f(x)=αlog(x)=loga(x),
  • f(xy)=f(x)f(y) — удовлетворяют все степенные функции f(x)=exp(αlog(x))=xa.
Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение f(x1x2)=f(x1)f(x2) приводится к уравнению g(y1+y2)=g(y1)+g(y2) после замены g(y)=log|f(expy)| (для этого, естественно, нужно, чтобы f(x) не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение f(x)0. Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля». Другие:

  • f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)] — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет f(x)=kx2,
  • f(x+y2)=f(x)+f(y)2 — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции f(x)=ax+b,
  • f(x+y)f(xy)=f(x)2 — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет f(x)=acx,
  • f(x+y)+f(xy)=2[f(x)f(y)] — уравнение Даламбера,
  • f(h(x))=f(x)+1 — ,
  • f(h(x))=cf(x) — , решением является функция Кёнигса, связанная с функцией h(x).

Рекуррентные соотношения

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига. Линейные рекуррентные соотношения: a(n)=i=1,kcia(ni) (где c1,c2,,ck — константы, не зависящие от n) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения: a(n)=3a(n1)+4a(n2), достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями. Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию a(n)=λn с неопределённым параметром λ и попробовать найти те λ, при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение λ2=3λ+4 с двумя различными корнями λ=1 и λ=4; поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула a(n)=d14n+d2(1)n (константы d1 и d2 подбираются так, чтобы при n=1 и n=2 формула давала нужные значения для величин a(1) и a(2)). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции nλn, n2λn и так далее. Одним из широко известных рекуррентных соотношений является a(n)=a(n1)+a(n2), определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравнений

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений. В частности, полезным может оказаться применении понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых f(f(x))=x; простейшие инволюции: f(x)=x, f(x)=1x, f(x)=11x+1, f(x)=1x. Например, для решения уравнения: f2(x+y)=f2(x)+f2(y) для всех x,y\R и f:\RR, положим x=y=0: f2(0)=f2(0)+f2(0). Тогда f2(0)=0 и f(0)=0. Далее, положив y=x: f2(xx)=f2(x)+f2(x) f2(0)=f2(x)+f2(x) 0=f2(x)+f2(x) Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит f2(x)=0 для всех x и f(x)0 является единственным решением этого уравнения.