Интегральные уравнения

Интегральное уравнение — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Классификация интегральных уравнений

Линейные интегральные уравнения

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно: φ(x)=λK(x,s)φ(s)ds+f(x), где φ(x) — искомая функция, f(x), K(x,s) — известные функции, λ — параметр. Функция K(x,s) называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить ещё на несколько видов.
agraphУравнения Фредгольма Уравнения Фредгольма 2-го рода Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида: φ(x)=λabK(x,s)φ(s)ds+f(x). Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: ax,sb, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: K(x,s)C(ax,sb),f(x)C([a,b]), либо удовлетворять условиям: abab|K(x,s)|2dxds<+,ab|f(x)|2dx<+. Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если f(x)0 на [a,b], то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением. Уравнения Фредгольма 1-го рода Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла: abK(x,s)φ(s)ds=f(x), при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.
agraphУравнения Вольтерры Уравнения Вольтерры 2-го рода Уравнения Вольтерры отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным: φ(x)=λaxK(x,s)φ(s)ds+f(x),axb. Уравнения Вольтерры 1-го рода Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерры 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла: axK(x,s)φ(s)ds=f(x). В принципе, уравнения Вольтерры можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро: \{mathcal\{K\}(x,\{;s)=\{begin\{cases\}K(x,\{;s), \& a\{leqslant s\{leqslant x, \{\{ 0, \& x Однако некоторые свойства уравнений Вольтерры не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Нелинейные уравнения

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.
agraphУравнения Урысона φ(x)=abK(x,s,φ(s))ds,K(x,s,φ)C(ax,sb;MφM). Постоянная M — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.
agraphУравнения Гаммерштейна Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона: φ(x)=abK(x,s)F(s,φ(s))ds, где K(x,s) — фредгольмово ядро.
agraphУравнения Ляпунова — Лихтенштейна Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида: φ(x)=f(x)+λabK[1](x,s)φ(s)ds+μababK[1,1](x,s,z)φ(x)φ(z)dsdz+
agraphНелинейное уравнение Вольтерры φ(x)=axF(x,s,φ(s))ds, где функция F(x,s,φ) непрерывна по совокупности своих переменных.

Методы решения

Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

Преобразование Лапласа

Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций: 0xf(xt)g(t)dtF(p)G(p), то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных: φ(x)=f(x)+0xK(xs)φ(s)ds. Например, дано такое уравнение: φ(x)=sinx+20xcos(xs)φ(s)ds. Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения: φ(x)Φ(p), Φ(p)=11+p2+2p1+p2Φ(p)Φ(p)=1(p1)2. Применяя обратное преобразование Лапласа, получим: φ(x)=resp=11(p1)2epx=(epx)p|p=1=xex.

Метод последовательных приближений

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие: |λ||ba|maxax,sb|K(x,s)|<1. Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана: φ(x)=k=0λk(Kkf)(x), который и является решением уравнения. (Kkf)(x) — k-ая степень интегрального оператора (Kf)(x): (Kf)(x)=abK(x,s)f(s)ds. Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых |λ|. Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях |λ|, а не только при малых.

Метод резольвент

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи. Если ввести следующие обозначения: \{begin\{align\} K\_0(x,\{;t)=K(x,\{;t),\{\{ K\_1(t,\{;s)=K(t,\{;s), \{end\{align\} то повторными ядрами ядра K(x,s) будут ядра Kp(x,s): Kp(x,s)=abK(x,t)Kp1(t,s)dt. Ряд, составленный из повторных ядер, R(x,s,λ)=k=0λkKk+1(x,s), называется резольвентой ядра K(x,s) и является регулярно сходящимся при ax, sb и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле: φ(x)=f(x)+λabR(x,s,λ)f(s)ds. Например, для интегрального уравнения φ(x)=f(x)+λ01xsφ(s)ds повторными будут следующие ядра: K0(x,s)=xs, K1(x,t)=xt, K2(x,t)=01xsstds=xt3, K3(x,t)=01xsst3ds=xt9, Kn+1=xt3n, а резольвентой — функция R(x,t,λ)=n=0λnKn+1=n=0λnxt3n=xt11λ3=3xt3λ. Тогда решение уравнения находится по формуле: φ(x)=f(x)+λ013xt3λf(t)dt.

Метод сведения к алгебраическому уравнению

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть K(x,s)=i=1Nfi(x)gi(s), само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так: φ(x)=λi=1Nfi(x)abgi(s)φ(s)ds+f(x)=λi=1Ncifi(x)+f(x), где ci=abφ(s)gi(s)ds. Умножив предыдущее равенство на gi(x) и проинтегрировав его по x на отрезке [a,b], приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел ci: ci=λk=0Naikck+bi,i=1,,N, где aik=abgi(x)fk(x)dx и bi=abgi(x)f(x)dx — числовые коэффициенты. Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции K(x,s).

Замена интеграла конечной суммой

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: φ(x)λabK(x,t)φ(t)dt=f(x), где K(x,t) и f(x) имеют непрерывные производные нужного порядка, λ - заданное число. Используем квадратурную формулу: abΦ(x)dxk=1nAkΦ(xk), где x1,x2,...xn - точки на отрезке [a,b], а коэффициенты A1,A2,...,An не зависят отвида функции Φ(x). Рассмотрим исходное уравнение в точках xk: φ(xk)λabK(xk,t)φ(t)dt=f(xk). Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: φ(xk)λm=1nK(xk,xm)φ(xm)=f(xk). Получаем линейную систему n алгебраических уравнений с n неизвестными φ(x1),φ(x2),...φ(xn), которые являются приближёнными значениями решения φ(x) в точках x1,x2,...xn. В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: φ(x)¯=λm=1nAmK(x,xm)φ(xm).

Приложения

Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году П. Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.

Формула обращения Фурье

Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y) по известной функции g(x): g(x)=12π+eixyf(y)dy. Фурье получил выражение для функции f(y): f(y)=12π+eixyg(x)dx.

Сведение задачи Коши к интегральному уравнению

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерры приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: dxdt=F(t,x(t)),x(a)=x0. В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t: x(t)=x0+atF(s,x(s))ds. Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим ещё в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача: x(t)+[λ2ν(t)]x(t)=0(λ=const),x(a)=1,x(a)=0. Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями: x(t)+λ2x(t)=g(t) решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде: x(t)=cosλ(ta)+1λatg(τ)sinλ(tτ)dτ. Тогда для исходного уравнения получается: x(t)=cosλ(ta)+1λatν(τ)sinλ(tτ)x(τ)dτ — интегральное уравнение Вольтерры 2-го рода. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка dnxdtn+a1(t)dn1xdtn1++an(t)x(t)=F(t),t>a, x(a)=C0,x(a)=C1,,x(n1)(a)=Cn1 также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерры 2-го рода.

Задача Абеля

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению: f(x)=0xφ(η)xηdη, где f(x) — заданная функция, а φ(x) — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения). Например, к уравнению такого вида приводит задача об определении потенциальной энергии по периоду колебаний У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так: \beginquote Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости (ξ,η) по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав своё движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой x, достигла оси Oξ за время t=f1(x), где f1(x) — заданная функция. \endquote Если обозначить угол между касательной к траектории и осью Oξ как β и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению: 0xφ(η)xηdη=2gf1(x),φ(β)=1sinβ.