Поле Якоби

Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической γ в Римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Иными словами, поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к геодезической в пространстве всех геодезических. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Пусть γτ есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с γ0=γ, тогда поле J(t)=γτ(t)τ|τ=0 называется полем Якоби.

Свойства


  • Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби: D2dt2J(t)+R(J(t),γ˙(t))γ˙(t)=0,
где D обозначает ковариантную производную по отношению к связности Леви-Чивита, R — тензор кривизны, и γ˙(t)=dγ(t)/dt — касательный вектор к γ.

  • На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических γτ, связанное с этим полем в соответствии с определением.

  • Уравнение Якоби — линейное  обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
    • В частности,  J и DdtJ в какой-либо точке γ однозначно определяют поле Якоби.
    • Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.

  • Любое поле Якоби J можно представить единственным образом в виде суммы T+I, где T=aγ˙(t)+btγ˙(t) является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и I(t) ортогонально γ˙(t) при всех t.
    • При этом поле I соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.

Пример

На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические γ0 и γτ с естественной параметризацией t[0,π], разделенные углом τ. Геодезическое расстояние d(γ0(t),γτ(t)) равно d(γ0(t),γτ(t))=arcsin(sintsinτ1+cos2ttg2(τ/2)). Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков: d(γ0(π),γτ(π))=0 для любого τ. Вместо этого мы можем рассмотреть производные по τ при τ=0: τ|τ=0d(γ0(t),γτ(t))=|J(t)|=sint. Мы вновь получаем пересечение геодезических при t=π. Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать d(γ0(t),γτ(t)); все, что нужно сделать, это решить уравнение y+y=0, для некоторых заданных начальных условий. Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.

Решение уравнения Якоби

Пусть e1(0)=γ˙(0)/|γ˙(0)|; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис {ei(0)} в Tγ(0)M. Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис {ei(t)} в любой точке γ. Это даёт ортонормированный базис с e1(t)=γ˙(t)/|γ˙(t)|. Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом: J(t)=yk(t)ek(t), откуда: DdtJ=kdykdtek(t),D2dt2J=kd2ykdt2ek(t), и уравнение Якоби можно переписать в виде системы d2ykdt2+|γ˙|2jyj(t)R(ej(t),e1(t))e1(t),ek(t)=0 для каждого k. Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех t и являются единственными, если заданы yk(0) и dykdt(0) для всех k.

Примеры

Рассмотрим геодезическую γ(t) с параллельным ортонормированным репером ei(t), e1(t)=γ˙(t)/|γ˙|, построенным, как описано выше.

  • Векторные поля вдоль γ, заданные γ˙(t) и tγ˙(t), являются полями Якоби.
  • В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны)  поля Якоби это — это те поля, что линейны по t.
  • Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны k2 любое поле Якоби является линейной комбинацией γ˙(t), tγ˙(t) и exp(±kt)ei(t), где i>1.
  • Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны k2 любое поле Якоби является линейной комбинацией γ˙(t), tγ˙(t), sin(kt)ei(t) и cos(kt)ei(t), где i>1.
  • Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.
  • Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике TM, индуцированной метрикой на M).