Уравнение Колмогорова Чепмена

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов P(t),t>0 в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство: P(t+s)=P(t)P(s). Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где P(t),t0 — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени t (P(0)=1). Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов P(t,h),h>t>0, преобразующих распределение вероятностей в момент времени t>0 в распределение вероятности в момент времени h>t>0. Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид P(t,s)=P(t,h)P(h,s),s>h>t>0. Для систем с дискретным временем параметры t,h,s принимают натуральные значения.

Прямое и обратное уравнения Колмогорова

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по s при s=0 получаем прямое уравнение Колмогорова: dP(t)dt=P(t)Q, где Q=limh0P(h)1h. Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по t при t=0 получаем обратное уравнение Колмогорова dP(t)dt=QP(t). Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор Q уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

Примеры

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в Rn, для которых оператор переходных вероятностей P(t) задаётся переходной плотностью p(t,x,y): вероятность перехода из области U в область W за время t есть UdxVdyp(t,x,y). Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид: p(t+s,x,y)=Rnp(t,x,z)p(s,z,y)dz. При t>0,t0 переходная плотность p(t,x,y) стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций)
limt0p(t,x,y)=δ(xy)
. Это означает, что limt0P(t)=1. Пусть существует предел (также обобщённая функция) q(x,y)=limh0p(h,x,y)δ(xy)h. Тогда оператор Q действует на функции f(x), определённые на Rn, как (Qf)(x)=Rnq(x,y)f(y)dy, и прямое уравнение Колмогорова принимает вид p(t,x,y)t=Rnp(t,x,z)q(z,y)dz, а обратное уравнение Колмогорова p(t,x,y)t=Rnq(x,z)p(t,z,y)dz. Пусть оператор Q — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами: (Qf)=12i,jaij(x)2fxixj+jbj(x)fxj. (это означает, что q(x,y) есть линейная комбинация первых и вторых производных δ(xy) с непрерывными коэффициентами). Матрица aij симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид p(t,x,y)t=12i,j2yiyj(aij(y)p(t,x,y))jyj(bj(y)p(t,x,y)). Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор bj в физической литературе называется вектором сноса, а матрица aij — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае p(t,x,y)t=12i,jaij(x)2xixjp(t,x,y)+jbj(x)xjp(t,x,y).