Система уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Обозначения

Формальная запись общего вида может выглядеть так: {F1(x1,x2,,xM)=0F2(x1,x2,,xM)=0FN(x1,x2,,xM)=0 Фигурная скобка означает, что решение (x1,x2,,xM) должно удовлетворять каждому уравнению. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Типы систем уравнений


  • Алгебраические уравнения:
    • Система линейных алгебраических уравнений
    • Система нелинейных уравнений

  • Дифференциальные уравнения:
    • Система дифференциальных уравнений (линейные/нелинейные, обыкновенные/в частных производных)

Методы решения

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций). Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы. Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

Разные факты


  • Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме fi(x)=0, возвести их в квадрат и сложить.
  • Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.

Категория:Элементарная математика