Уравнение Янга Бакстера

Уравнение Янга — Бакстера (уравнение факторизации, уравнение треугольников) — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.

Зависимое от параметров уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через A ассоциативную алгебру с единицей. Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для R(u), зависимый от параметра обратимый элемент тензорного произведения алгебр AA (здесь u — параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением R12(u) R13(u+v) R23(v)=R23(v) R13(u+v) R12(u), на функцию R, в которую указанным образом подставлены две переменные u и v. При некоторых u R(u) может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид R12(u) R13(uv) R23(v)=R23(v) R13(uv) R12(u), на функцию R, где R12(w)=ϕ12(R(w)), R13(w)=ϕ13(R(w)), и R23(w)=ϕ23(R(w)), для всех величин параметра w, и ϕ12:AAAAA, ϕ13:AAAAA, и ϕ23:AAAAA, являются морфизмами алгебры, определёнными как ϕ12(ab)=ab1, ϕ13(ab)=a1b, ϕ23(ab)=1ab. В некоторых случаях детерминант R(u) может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра u=u0, и иногда R(u) даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через A ассоциативную алгебру с единицей. Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для R, обратимого элемента тензорного произведения алгебр AA. Уравнение Янга — Бакстера имеет вид R12 R13 R23=R23 R13 R12, где R12=ϕ12(R), R13=ϕ13(R), и R23=ϕ23(R). Пусть V — модуль над A. Пусть T:VVVV линейная карта, удовлетворяющая T(xy)=yx для всей x,yV. Тогда представление группы кос, Bn, может быть построено на Vn σi=1i1Rˇ1ni1 для i=1,,n1, где Rˇ=TR на VV. Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.