Функции

Функция (отображение, оператор,преобразование) — в математике соответствие между элементамидвух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементуодного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другогомножества.Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том,как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так,значение переменной x однозначно определяет значение выраженияx2, а значение месяца однозначно определяет значение следующего заним месяца.Аналогично, задуманный заранее алгоритм по значению входного данноговыдаёт значение выходного данного.Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то естьфункция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функцииудобно представлять в виде графиков.

История

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервыеиспользован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли вписьме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близкомк современному.Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитическогопредставления . Впоследствии появилось определение функции, данноеЭйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически всовременном виде. Наконец, общее определение функции (в современнойформе, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) иДирихле (1837 год).К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем.Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскореФреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множествДедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальноеопределение.

Определения

Наиболее строгим является теоретико-множественное определение функции(на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определенияфункции даётся понятие функции, то есть описание математического объектас помощью понятий обычного языка, таких как «закон», «правило» или«соответствие».

Понятиефункции

Говорят, что на множестве X имеется функция(отображение, операция, оператор) f со значениями изY, если каждому элементу x из множества X по правилу fпоставлен в соответствие некоторый элемент y из множества Y.Говорят также, что функция f отображает множество X вмножество Y. Функцию обозначают также записью y=f(x).Если используется термин оператор, то говорят, что оператор fдействует из множества X в множество Y и добавляют записьy=fx.Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия f считаетсяизвестным, то говорят, что на множестве X задана функцияf, принимающая значения из Y. Если функция f должнанаходиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, чтоf — неизвестная или неявно заданная функция. Но в любом случае,функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно.Если элементу xX сопоставлен элемент yY, то тем самым наэлементе x задано и правило соответствия f (которое может бытьразным для разных элементов). Следовательно, задание соответствия накаждом элементе множества X эквивалентно заданию функции f наэтом множестве. Поэтому понятие функции можно сформулировать без понятияправило и необходимости его обозначать:Говорят, что на множестве X задана функция f,принимающая значения из Y, если каждому элементу x из множестваX поставлен в соответствие некоторый элемент y из множестваY. Функцию обозначают также записью y=f(x).Например, функция, заданная на X таблицей пар элементов x иy, содержит и правило соответствия для каждого элемента из X,поскольку значения функции при переходе от элемента к элементу множестваX располагаются по вполне определенному правилу.Для числовых функций, часто задаваемых формулами, понятие функцииформулируется как соответствие между элементами множеств посредствомправила. Правило не обозначается, чтобы избежать совпадения обозначенийправила и функции:Если каждому элементу x из множества X по какому-либо правилуставится в соответствие некоторый элемент y из множества Y, тоуказанное соответствие называется функцией y=f(x), заданнойна множестве X со значениями из Y. Буква f в этомобозначении — индивидуальный знак функции.Итак, функция y=f(x) (или кратко: функция f(x)или f) представляет собой тройку объектов:X,f,Y, где

  • множество X называется областью задания или областью определения функции;
  • множество Y называется областью значений функции;
  • f — правило, по которому каждому элементу xX сопоставляется некоторый элемент yY. Для правила здесь использовано то же обозначение, что и для функции.
Обозначенный буквой x каждый элемент множества X называетсянезависимой переменной илиаргументом функции. Множество X при этом называетсяобластью изменения переменной x.Элемент y, соответствующий фиксированному элементу x называетсячастным значением функции в точке x.Совокупность всех частных значений y, обозначаемая символом{y}, называется множеством значений функции.

Теоретико-множественноеопределение

Понятие множества упорядоченных пар (отношения) позволяет исключить изформулировки понятия функции не только понятие правило, но ипонятие соответствие, к которому сводится понятие функции вобычных формулировках предыдущего подраздела.Таким образом, для функции можно сформулировать определение,использующее только начальные математические понятия:Функцией f называется множество упорядоченных пар(x,y)X×Y, таких, что пары существуют для всех элементовмножества X, и, если первые элементы пар совпадают, то совпадают ивторые их элементы.При этом:

  • Множество X называется областью задания или областью определения функции;
  • множество Y называется областью значений функции
  • множество всех элементов yY, для которых существует пара (x,y)f, xX, называется ' множеством значений' функции;
  • множество упорядоченных пар fX×Y называется также графиком функции; понятие графика функции и понятие функции при таком определении функции совпадают. При обычной формулировке понятия функции её графиком называется множество пар (x,f(x)).
Функции f и g называются равными, если их графики совпадают.Поскольку равенство функций (в любой формулировке понятия функции)включает в себя не только совпадение правил соответствия междуэлементами множеств, но и совпадение областей задания, то функцииf1(x)=x:\R\R и f2(x)=x:\R+\R, где \R— множество вещественных чисел, а \R+ — множествоположительных вещественных чисел, являются разными функциями.Более общим, включающим в себя не только однозначные функции, являетсяследующее определение функции:Функцией f называется любое множество упорядоченных пар(x,y)X×Y.При этом:

  • Множество X называется областью отправления функции. Множество всех элементов xX, для которых существует пара (x,y)f, называется областью задания функции;

  • множество Y называется областью прибытия функции. Множество всех элементов yY, для которых существует пара (x,y)f, называется множеством значений функции.

Обозначенияфункции

Если на множестве X задана функция f, принимающая значения измножества Y, то

  • этот факт записывают в виде f:XY или XfY;
  • множество X — область задания функции f — обозначается символом D(f) или domf;
  • множество Y — область значений функции f;
  • множество значений {y} функции f обозначается символом E(f) или codf (ranf).
  • Если область значений Y и множество значений E(f) совпадают, то говорят, что f отображает множество X на Y.
  • Функция, заданная на множестве X, наиболее часто обозначается как соответствие между элементами xX и yY: y=f(x), или кратко
    f(x)
    или f; xy или xf(x);
  • для сокращения числа обозначений знак функции, заданной на множестве X, может обозначаться той же буквой, что и каждое значение функции: y=y(x), z=z(x);
  • функция обозначается и как ''функция ''f, которая отображает множество X в Yс обозначением соответствия между элементами xX и yY: f:xy или f:y=f(x);
  • реже используется обозначение функции как соответствие между элементами xX и yY без скобок: y=fx, y=fx или y=xf,
  • а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: y=(f,x) или y=(x,f);
  • также существует и операторное обозначение y=xf, которое можно встретить в общей алгебре.
  • В лямбда-исчислении Чёрча используется обозначение λx.y .

Функции несколькихаргументов

Понятие функции легко обобщается на случай функции многих аргументов.Если множество X представляет собой декартово произведение множествX1,X2,,Xn, тогда отображение f:XY, гдеY — множество вещественных чисел, оказывается n-местнымотображением, при этом элементы упорядоченного набораx=(x1,x2,,xn) называются аргументами (даннойn-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:xiXi где i=1,n¯¯¯¯¯¯¯¯.В этом случае запись y=f(x) означает, чтоy=f(x1,x2,,xn).

Способы заданияфункции

Аналитическийспособ

Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например,формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в формеравенства записью y=f(x), где x есть переменная, пробегающаяобласть задания функции, а соответствующие значения переменной y(или, что то же самое, значения выражения принадлежат области значенийфункции. Например, равенство y=x2, где x пробегает множествовещественных чисел, задает числовую функцию y=f(x).Само по себе равенство y=f(x), без указания что это функция,заданная на некотором множестве, функцией не является.Например, y=x2 есть равенство выражений, содержащих разныепеременные. Аналогично, если f(x) является другим обозначениемпеременной y, то f(x)=x2 также есть равенство выражений,содержащих разные переменные. Если же в равенстве f(x)=x2слевастоит обозначение выражения, содержащего переменную x, то имеетсяравенство двух выражений, содержащих одну переменную.Однако высказывание функция y=x2(или функцияf(x)=x2) на множестве задания обозначает именно функцию. Болеетого, часто функцию xf(x) (или y=f(x) ) для краткостиобозначают как функцию f(x) на множестве задания. Этосоглашение является удобным и оправданным.

Графическийспособ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пустьy=f(x1,x2,,xn) — вещественная функция nпеременных. Тогда её графиком является множество точек в n+1-мерномпространстве
{(x1,x2,,xn,f(x1,x2,,xn)}
.Это множество точек, часто является поверхностью. В частности приn=1, график функции может в некоторых случаях может быть изображёнкривой в двумерном пространстве.Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление неприменимо. Однако, и для таких функций можно придумать наглядноеполугеометрическое представление (например каждому значению четвёртойкоординаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Связанныеопределения

Сужение и продолжениефункции

Пусть дано отображение f:XY и MX.Отображение g:MY, которое принимает на M те жезначения, что и функция f, называется сужением (или, иначеограничением) функции f на множество M.Сужение функции f на множество M обозначается как fM.Если функция g:MY такова, что она является сужением длянекоторой функции f:XY, то функция f, в свою очередь,называется продолжением функции g на множество X.

Образ и прообраз (приотображении)

Элемент y=f(x), который сопоставлен элементу x, называетсяобразом элемента (точки) x (при отображении f).Если взять целиком подмножество A области задания функцииf, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементовмножества A, а именно подмножество области значений (функции f)видаf(A):={f(x):xA},которое, называется образом множества A при отображенииf. Это множество иногда обозначается как f[A] или Af.Наоборот, взяв некоторое подмножество B области значений функцииf, можно рассмотреть совокупность тех элементов области заданияфункции f, чьи образы попадают в множество B, а именно —множество видаf1(B):={x:f(x)B},которое называется (полным) прообразом множества B(при отображении f).В том частном случае, когда множество B состоит из одного элемента,скажем, B={y}, множество f1({y})={x:f(x)=y}имеет более простое обозначение f1(y).

Тождественноеотображение

Отображения, у которых совпадают область задания и область значений,называются отображениями заданного множества в себя илипреобразованиями.В частности, преобразование f:XX, которое сопоставляеткаждой точке x множества X её саму или, что то же самое,f(x)=x для каждого xX, называется тождественным.Это отображение имеет специальное обозначение: idX или, проще,id (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду).Такое обозначение обязано своим происхождением англ. словуidentity («идентичность, тождественность»).Другое обозначение тождественного преобразования — 1X. Такоеотображение является унарной операцией, заданной на множестве X.Поэтому, нередко, тождественное преобразование называютединичным.

Композицияотображений

Пусть f:XY и g:YZ — два отображения,таких, что область значений первого отображения является подмножествомобласти задания второго отображения. Тогда для всякого xXоднозначно определяется элемент yY такой, что y=f(x), но дляэтого самого y однозначно определяется элемент zZ такой, чтоz=g(y). То есть, для всякого xX однозначно определяетсяэлемент zZ такой, что z=g(f(x)). Другими словами, заданоотображение h такое, чтоh(x)=g(f(x)) для всякого xX.Это отображение называется композицией отображений f иg, оно обозначается выражением gf (именно в такомпорядке!), которое читается g после f.

Обратноеотображение

Если отображение f:XY является взаимно однозначным илибиективным (см. ниже), то существует отображениеf1:YX, у которого

  • область задания (множество Y) совпадает с областью значений отображения f ;
  • область значений (множество X) совпадает с областью задания отображения f ;
  • x=f1(y) тогда и только тогда, когда y=f(x).
Отображение f1 называется обратным по отношению котображению f.Отображение, у которого существует обратное, называетсяобратимым.В терминах композиции отображений, свойство обратимости заключается водновременном выполнении двух условий: f1f=idX иff1=idY.

Свойства

Свойства образов ипрообразов


agraphСвойстваобразовПусть A и B — подмножества области задания функцииf:XY. Тогда образы множеств A и B, при отображенииf, обладают следующими свойствами:

  • f()=;
  • Af(A);
  • ABf(A)f(B).

  • образ объединения множеств равен объединению образов: f(AB)=f(A)f(B);
  • образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов f(AB)f(A)f(B).
Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.
agraphСвойствапрообразовПоложим, A и B — подмножества множества Y.Прообразы множеств A и B, при отображении f, обладаетследующими двумя очевидными свойствами:

  • прообраз объединения равен объединению прообразов: f1(AB)=f1(A)f1(B);
  • прообраз пересечения равен пересечению прообразов f1(AB)=f1(A)f1(B).
Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.Если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точкиобласти значений одноточечный, поэтому для обратимых отображенийвыполняется следующее усиленное свойство для пересечений:

  • образ пересечения равен пересечению образов: f(AB)=f(A)f(B).

Поведениефункций


agraphСюръективностьФункция f называется сюръективной (или, коротко, fсюръекция), если каждому элементу множества Y может бытьсопоставлен хотя бы один элемент множества X. То есть, функция fсюръективна, если образ множества X при отображениисовпадает с множеством Y: f(X)=Y.Такое отображение называется ещё отображением множества Xна множество Y.Другими словами, при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элементY не имел прообраза.Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называютотображением множества X в множество Y.
agraphИнъективностьФункция f называется инъективной (или, коротко, fинъекция), если любым двум разным элементам из множества Xсопоставляются разные элементы из множества Y. Более формально,функция f инъективна, если для любых двух элементовx1,x2X таких, что f(x1)=f(x2), следует, что x1=x2.Другими словами, при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разныхэлементов из множества X отображались в один и тот же элемент изY.
agraphБиективностьЕсли функция является и сюръективной, и инъективной, тотакую функцию называют биективной или взаимнооднозначной.
agraphВозрастание иубываниеПусть дана функция f:M\R\R. Тогда

  • функция f называется неубывающей на M, если
x,yM,x>yf(x)f(y);

  • функция f называется возрастающей на M, если
x,yM,x>yf(x)>f(y);

  • функция f называется невозрастающей на M, если
x,yM,x>yf(x)f(y);

  • функция f называется убывающей на M, если
x,yM,x>yf(x)<f(y).Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными.Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
agraphПериодичностьФункция f:MN называется периодической с периодомT0 , если выполняется равенствоf(x+T)=f(x),xM.Если это равенство не выполнено ни для какого TM,T0 ,то функция f называется апериодической.
agraphЧётность

  • Функция f:XR называется нечётной, если справедливо равенство
f(x)=f(x),xX.

  • Функция f называется чётной, если справедливо равенство
f(x)=f(x),xX.
agraphЭкстремумыфункцииПусть задана функция f:X\R, и x0X —внутренняя точка области задания f. Тогда

  • x0 называется точкой локального максимума, если существует окрестность M точки x0 такая, что xM,xx0:f(x)<f(x0);
  • x0 называется точкой локального минимума, если существует окрестность M точки x0 такая, что xM,xx0:f(x)>f(x0).

Свойства множеств ифункций

В зависимости от того, какова природа области задания и областизначений, различают следующие случаи областей:

  1. абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
  2. множества, которые наделены некоторой структурой.
В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде ирешаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например,является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумямножествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то дваданных множества называют эквивалентными или равномощными.Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы,начальный фрагмент выглядит следующим образом:

  • конечные множества — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
  • счётные множества — множества, эквивалентные множеству натуральных чисел;
  • множества мощности континуума (например, отрезок вещественной прямой или сама вещественная прямая).
В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примерыотображений:

  • конечные функции — отображения конечных множеств;
  • последовательности — отображение счётного множества в произвольное множество;
  • континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.
В случае 2, основной объект рассмотрения — заданная намножестве структура (дополнительные свойства элементов множества) и то,что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимнооднозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, тоговорят, что между двумя структурами установлен изоморфизм. Такимобразом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах,невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что даннаяструктура рассматривается «с точностью до изоморфизма».Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы намножествах. Сюда относится:

  • структура порядка — частичный или линейный порядок элементов множества;
  • алгебраическая структура — группоид, полугруппа, группа, кольцо, тело, область целостности или поле, заданные на элементах множества;
  • структура метрического пространства — на элементах множества задаётся функция расстояния;
  • структура евклидового пространства — на элементах множества задаётся скалярное произведение;
  • структура топологического пространства — на множестве задаётся совокупность «открытых множеств»;
  • структура измеримого пространства — на множестве задаётся сигма-алгебра подмножеств исходного множества (например, посредством задания меры с данной сигма-алгеброй в качестве области задания функции)
Функции с конкретным свойством могут не существовать на множествах, необладающих соответствующей структурой. Например, формулировка свойстванепрерывности функции, заданной на множестве, требует задания наэтом множестве топологической структуры.

Обобщения

Частично определённыефункции

Частично определённая функция f из множества X вмножество Y есть функция f:XY с областью заданияXX.Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию.Это имеет свои преимущества, например, возможна записьf:\R\R, где f(x)=1/x в этом случаеDomf=\R{0}.

Многозначныефункции

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствуетровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать протак называемые многозначные функции. В действительности, это не болеечем удобное обозначение функции, область значений которой сама являетсясемейством множеств.Пусть f:XB, где B — семействоподмножеств множества Y. Тогда f(x) будет множеством для всякогоxX.Функция однозначна, если каждому значению аргументасоответствует единственное значение функции. Функциямногозначна, если хотя бы одному значению аргументасоответствует два или более значений функции.