Аффинно квадратичная функция

 Аффинно-квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q:SK, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=xTAx+bTx+c, где A — симметричная матрица, b — линейная функция, c — константа.

Перенос начала отсчета

При переносе начала отсчета o в точку o=o+a формула изменяется следующим образом: A=A b=2Aa+b c=aTAa+ba+c

Выражение в координатах

Q(x)=i,jaijxixj+ibixi+c, где aij=aji,c=Q(0),bi=Qxi(0)

Центр аффинно-квадратичной функции

Точка a называется центром аффинно-квадратичной функции Q, если x:Q(a+x)=Q(ax). Это имеет место тогда и только тогда, когда Qx=0. Следовательно множество всех центров задается системой уравнений Qx=2Ax+b=0. В общем случае это афинное подпространство, а если A невырождена, то одна точка.

Квадрики

Множество вида X(Q)={p:Q(p)=0}, где Q — аффинно-квадратичная функция (если оно не пусто и не плоскость) называется квадрикой или гиперповерхностью второго порядка. Квадрика на плоскости называется коникой или кривой второго порядка, в трехмерном пространстве — поверхностью второго порядка. Точка o называется центром квадрики, если квадрика симметрична относительно неё. Категория:Функции Категория:Линейная алгебра