Комплексная функция

Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: f:\C\C. Как и комплекснозначная функция вещественной переменной может быть представлена в виде: f(z)=u(z)+iv(z), где u(z) и v(z) — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции f(z). В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция f(z) была дифференцируема, должны выполняться условия Коши — Римана: ux=vy; uy=vx. Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа Rez, мнимая часть Imz, комплексное сопряжение z¯, модуль r=|z| и аргумент φ(z) аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.