Комплекснозначная функция

Комплекснозначная функция в теории функций вещественной переменной — функция, принимающая комплексные значения: f:\R\C. Такая функция может быть представлена в виде: f(x)=u(x)+iv(x), где u(x) и v(x) — вещественные функции. В этом случае функция u(x) называется вещественной частью функции f(x), а v(x) — её мнимой частью. В связи с таким разложением, на комплекснозначные функции естественным образом переносятся все понятия, вводимые для вещественнозначных функций, в частности, комплекснозначная функция считается непрерывной (дифференцируемой, аналитической, измеримой, гармонической), если её вещественная и мнимая части являются непрерывными (дифференцируемыми, аналитическими, измеримыми, гармоническими) функциями. Интеграл комплекснозначной функции f(x)=u(x)+iv(x) определяется следующим образом: abf(x)=abu(x)dx+iabv(x)dx. Однако не все свойства, выполненные для вещественной и мнимой части одновременно, могут быть распространены на комплекснозначные функции. В частности, для комплекснозначных функций в общем случае не действует теорема Ролля, например, производная комплекснозначной функции вещественного аргумента: σ(x)=eix на интервале [0,2π] не обращается в нуль, хотя в конечных точках отрезка значения функции равны (σ(0)=σ(2π)=1).