Функция Дирихле

Функция Дирихле — стандартный пример всюду разрывной функции. Названа в честь немецкого математика Дирихле.

Определение

По определению функция Дирихле D:\R{0,1} принимает значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом : D(x) = \{begin\{cases\} \texttt1, \& x\{in \{mathbb Q, \{\{\\ \texttt0, \& x \{in \{mathbb R \{backslash \{mathbb Q. \{end\{cases\}

Представление

Функция Дирихле принадлежит второму классу Бэра. То есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций: D(x)=limmlimncos2n(m!πx).

Свойства


  • Область определения: (;+).
  • Область значений: {0;1}.
  • Функция Дирихле является всюду разрывной функцией
    • Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода.

  • Функция Дирихле периодическая, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю.
    • Основного периода функция не имеет.

  • Функция Дирихле — простая функция.
  • Функция Дирихле не является интегрируемой в смысле Римана .
  • Функция Дирихле измерима по отношению к мере Лебега.
    • Её интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю. Это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.