Колебание функции

Колебание функции на множестве E — верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек x1, x2 E. Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.

Определение

Величина ω(f,E)=supx1,x2E|f(x1)f(x2)| называется колебанием функции f на множестве E. Если теперь фиксировать δ>0, то можно определить колебание функции f на множестве UEδ(a); функция ω(f,a,δ)=ω(f,UEδ(a)) является невозрастающей функцией при δ+0 и ограниченной снизу, поэтому она

  • либо имеет конечный предел при δ+0,
  • либо для любого δ>0 будет ω(f,a)=+.
Величина ω(f,a):=limδ0+ω(f,UEδ(a)) называется колебанием функции функции f в точке a.

Свойства


  • Функция f:ER непрерывна в точке aE, предельной для множества E тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:
fC({a})ω(f,a)=0.

  • Функция f:ER непрерывна на множестве E тогда и только тогда, когда для любого ε>0 существует элемент базы B, колебание на котором будет меньше чем заданное ε:
fC(E)BB:ω(f,B)<ε.