Исследование функции

Исследование функции — задача, заключающаяся в определении основных параметров заданной функции.

Значение

Одной из целей исследования является построение графика функции. Несмотря на то, что в настоящее время это легко выполнить, введя формулу функции в поисковый запрос Google, или воспользовавшись многочисленными программами и устройствами-графопостроителями, а также более мощными — системами аналитических вычислений, умение исследовать функцию на бумаге и построить график функции от руки по-прежнему является таким же необходимым элементом математического образования, как, например, умение считать и знание таблицы умножения.

Основные параметры

В ходе исследования находятся и выписываются по-порядку многие параметры функции как объекта. Здесь приведён набор, из которого они обычно выбираются:

  • Область определения, поведение функции вблизи граничных её точек
  • Область значений (легче находится после исследования монотонности), ограниченность сверху/снизу.
  • Нули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль.
  • Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
  • Чётность/нечётность, периодичность.
  • Непрерывность
    • Если есть — точки разрыва, их типы; вертикальные асимптоты.

  • Первая производная, её нули (критические точки) или точки излома, если есть.
  • Экстремумы: максимумы и минимумы.
  • Промежутки монотонности
  • Вторая производная, её нули.
  • Точки перегиба, промежутки выпуклости.
  • Поведение на бесконечности, горизонтальные или наклонные асимптоты.