Обратимая функция

Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

Определение

Если функция y=f(x) такова, что для любого её значения y0 уравнение f(x)=y0 имеет относительно x единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Свойства


  1. Если функция y=f(x) определена и возрастает (или убывает) на промежутке X и областью её значений является промежуток Y, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на X.
  2. Если функция y=f(x) задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение f(x)=y относительно x, а потом поменять местами x и y.
  3. Если уравнение f(x)=y имеет более одного корня, то функции, обратной функции y=f(x), не существует.
  4. Графики обратных функций симметричны относительно прямой y=x.
  5. Если f и g – функции, обратные друг другу, то E(f)=D(g), D(f)=E(g), где D и E – области определения и значений соответственно.
  6. Обратная функция может существовать только для обратимой функции.

Примеры


  • Функция y=x2 не является обратимой на R, но обратима при x0 или x0 .
  • Функция sinx не является обратимой на R, т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.