Геометрия

 Раздел математики,изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, еёаксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидовагеометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и впространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в1637 году координатный метод лёг в основу аналитической идифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели ксозданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построенияоставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменениясвязаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался отаксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определивтаким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе»в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрическихобъектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сихпор.

Предметгеометрии

Коническиесечения: круг, эллипс, парабола, гиперболаФеликс Клейн в своей«Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучаетте свойства геометрических объектов, которые сохраняются(инвариантны) при действии некоторой группы преобразований,специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, вклассической геометрии можно выделить следующие основные разделы.

  • Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.
    • Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости.
    • Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

  • Проективная геометрия, изучающую проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях.
  • Аффинная геометрия, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.
  • Начертательная геометрия — инженерная дисциплина, в основе которой лежит метод проекций. Этот метод использует две и более проекций (ортогональных или косоугольных), что позволяет представить трехмерный объект на плоскости.
Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы.

  • Многомерная геометрия.
  • Неевклидовы геометрии.
    • Сферическая геометрия.
    • Геометрия Лобачевского.

  • Риманова геометрия.
  • Геометрия многообразий.
  • Топология — наука о непрерывных преобразованиях самого общего вида, то есть свойства объектов, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. В топологии не рассматриваются никакие метрические свойства объектов.
По используемым методам выделяют также такие инструментальныеподразделы.

  • Аналитическая геометрия — геометрия координатного метода. В ней геометрические объекты описываются алгебраическими уравнениями в декартовых (иногда аффинных) координатах и затем исследуются методами алгебры и анализа.
  • Алгебраическая геометрия — изучает алгебраические многообразия (то есть множества, которые задаются полиномиальными уравнениями) с помощью методов современной общей алгебры.
  • Дифференциальная геометрия — изучает линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, с помощью дифференциальных уравнений и методов топологии.

Аксиоматика

Аксиомы евклидовой геометрии, сформулированные в III—IV веке до н. э.,составляли основу геометрии до второй половины XIX века, так как хорошоописывали физическое пространство и отождествлялись с ним. Пятипостулатов Евклида было недостаточно для полного описания геометрии и в1899 году Гильберт предложил свою систему аксиом. Гильберт разделилаксиомы на несколько групп: аксиомы принадлежности, конгруэнтности,непрерывности (в том числе аксиома Архимеда), полноты и параллельности.Позднее Шур заменил аксиомы конгруэнтности аксиомами движения, а вместоаксиомы полноты стали использовать аксиому Кантора. Система аксиомевклидовой геометрии позволяет доказать все известные школьные теоремы.Существуют и другие системы аксиом, в основе которых, помимо точки,прямой и плоскости, лежит не движение, а конгруэнтность, как уГильберта, или расстояние, как у Кагана. Другая система аксиом связана спонятием вектора. Все они выводятся одна из другой, то есть аксиомы водной системе можно доказать как теоремы в другой.Для доказательства непротиворечивости и полноты аксиом евклидовойгеометрии строят её арифметическую модель и показывают, что любая модельизоморфна арифметической, а значит они изоморфны между собой.Независимость аксиом евклидовой геометрии показать сложнее из-забольшого количества аксиом. Аксиома параллельности не зависит от других,так как на противоположном утверждении строится геометрия Лобачевского.Аналогично была показана независимость аксиомы Архимеда (в качествекоординат вместо тройки вещественных чисел используется тройкакомплексных чисел), аксиомы Кантора (в качестве координат вместо тройкилюбых вещественных чисел используются вещественные числа, построенныеопределённым образом), а также одной из аксиом принадлежности, котораяфактически определяет размерность пространства (вместо трёхмерногопространства можно построить четырёхмерное, и любое многомерноепространство с конечным числом измерений).

ПостулатыЕвклида

Постулаты Евклида представляют собой правила построения с помощьюидеального циркуля и идеальной линейки:

  1. Всякие две точки можно соединить прямой линией;
  2. Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить;
  3. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность;
  4. Все прямые углы равны между собой;
  5. Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Другая формулировка пятого постулата (аксиомы параллельности), гласит:Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более однойпрямой, не пересекающей данную прямую.

Аксиомы евклидовойгеометрии

В «Энциклопедии элементарной математики» предлагается следующая системааксиом:::* Аксиомы принадлежности:

  1. Через каждые две различные точки проходит прямая и притом одна;
  2. На каждой прямой имеется по крайней мере две точки;
  3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой;
  4. Через каждые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом только одна;
  5. На каждой плоскости имеется по крайней мере одна точка;
  6. Если две точки лежат на плоскости, то и проходящая через них прямая лежит на этой плоскости;
  7. Если две плоскости имеют общую точку, они имеют по крайней мере ещё одну общую точку;
  8. Существуют четыре точки, не лежащие на одной плоскости.
    • Аксиомы порядка:

  9. Из любых трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими;
  10. Для всяких двух точек прямой существует на этой прямой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей;
  11. Если прямая l, лежащая в плоскости ABC, не проходит ни через одну из точек A, B, C и содержит одну точку отрезка AB, то она имеет общую точку с хотя бы одним из отрезков AC, BC;
    • Аксиомы движения:

  12. Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя;
  13. Пусть f — произвольное движение. Тогда, если точки A, B, C расположены на одной прямой, причём C лежит между A и B, то точки f(A), f(B), f(C) также расположены на одной прямой, причём f(C) лежит между f(A) и f(B);
  14. Два движения, произведённые один за другим, равносильны некоторому одному движению;
  15. Для всяких двух реперов, взятых в определённом порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй;
    • Аксиомы непрерывности:

  16. Аксиома Архимеда. Пусть A0, A1, B — три точки, лежащие на одной прямой, причём точка A1 находится между A0 и B. Пусть далее f — движение, переводящее точку A0 в A1 и луч A0B в A1B. Положим f(A1)=A2, f(A2)=A3, \ldots. Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке An-1An.
  17. Аксиома Кантора. Пусть A1, A2, \ldots и B1, B2, \ldots — такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой l, что для любого n точки An и Bn различны между собой и лежат на отрезке An-1Bn-1. Тогда на прямой l существует такая точка C, которая находится на отрезке AnBn при всех значениях n.
    • Аксиома параллельности:

  18. Через точку A, не лежащую на прямой l, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей прямую l.
Если убрать из системы аксиомы 4-8, относящиеся к пространственнойгеометрии, то получится система аксиом евклидовой плоскости.

Геометрическиепреобразования

Преобразованием множества называют его взаимно-однозначное отображениена себя. В таком смысле этот термин используется в геометрии, хотяиногда его используют и как синоним отображения или отображениямножества в себя.Говоря о «геометрических преобразованиях», обычно имеют в виду некоторыеконкретные типы преобразований, играющие фундаментальную роль вгеометрии — движения, преобразования подобия, аффинные, проективные,круговые преобразования (в последних двух случаях плоскость илипространство дополняют бесконечно удаленными точками). Этуфундаментальную роль выявил немецкий математик Феликс Клейн в своейлекции в университете г. Эрланген в 1872 г., известной как Эрлангенскаяпрограмма. Согласно концепции Клейна, геометрия изучает свойства фигур,сохраняющиеся при всех преобразованиях некоторой группы преобразований.Рассматривая группы преобразований указанных выше видов, получают разныегеометрии — евклидову (для преобразований подобия), аффинную и т. д.

История

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии каксистематической науки являются древние греки, перенявшие у египтянремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгуюнаучную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептовперешли к установлению общих закономерностей, составили первыесистематические и доказательные труды по геометрии. Центральное местосреди них занимают написанные в III веке «Начала» Евклида. Этот трудболее двух тысячелетий считался образцовым изложением в духеаксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём изнебольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений —аксиом. Первые же доказательства геометрических утверждений появились вработах Фалеса и использовали, по всей видимости, принцип наложения,когда фигуры, равенство которых необходимо доказать, накладывались другна друга.Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, илиэлементарной, занималась изучением простейших форм: прямых,плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников,конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов.Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основномограничивались подобием. В Греции в работах Гиппарха и Менелая такжепоявились тригонометрия и геометрия на сфере.Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в еёистории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода(трактат «Геометрия», 1637). Точкам пространства сопоставляются наборычисел, это позволяет изучать отношения между геометрическими формамиметодами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия,изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаютсяалгебраическими уравнениями. Систематическое изложение аналитическойгеометрии было предложено Эйлером в 1748 году. В начале XVII векаПаскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, неменяющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот разделполучил название проективной геометрии и был впервые обобщёнПонселе в 1822 году. Ещё раньше, в 1799 году Монж развил начертательнуюгеометрию, связанную напрямую с задачами черчения. Метод координат лежитв основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии,где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но ужепроизвольными достаточно гладкими функциями. Дифференциальная геометриябыла систематизирована Монжем в 1795 году, её развитием, в частноститеорией кривых и теорией поверхностей, занимался Гаусс. На стыкегеометрии, алгебры и анализа возникли векторное исчисление, тензорноеисчисление, метод дифференциальных форм.В 1826 году Лобачевский, отказавшись от аксиомы параллельности Евклидапостроил неевклидову геометрию, названную его именем. АксиомаЛобачевского гласит, что через точку, не лежащую на прямой можнопровести более одной прямой, параллельной данной. Лобачевский, используяэту аксиому вместе с другими положениями, построил новую геометрию,которая в силу отсутствия наглядности, оставалась гипотетической до 1868года, когда было дано её полное обоснование. Лобачевский, таким образом,открыл принципы построения новых геометрических теорий и способствовалразвитию аксиоматического метода.Следующим шагом явилось определение абстрактного математическогопространства. Проективные, аффинные и конформные преобразования,сохраняющиеся при этом свойства фигур, привели к созданию проективной,аффинной и конформной геометрий. Переход от трёхмерного пространства кn-мерному впервые был осуществлён в работах Грассмана и Кэли в1844 году и привёл к созданию многомерной геометрии. Другим обобщениемпространства стала риманова геометрия, предложенная Риманом в 1854 году.Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородныхгеометрий; согласно ему, геометрия изучает все те свойства фигур,которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. Приэтом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения)задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффиннуюгеометрию.В 70-х годах XIX века возникла теория множеств, с точки зрения которойфигура определяется как множество точек. Данный подход позволил поновому взглянуть на евклидову геометрию и проанализировать её основы,которые подверглись некоторым уточнениям в работах Гильберта.

Геометрия в философии иискусстве

Со времён Древней Греции в основе геометрии лежат философские понятия.Определяя точку как «то, что не имеет частей», подход к ней отличается у Пифагора, который отождествляет точку с числовой единицей и у которого точка имеет только положение в пространстве и не имеет размера, и у Демокрита, который строя атомистическую теорию, даёт точке «сверхчувственно малый» размер.К атомистическим представлениям восходят также определения линии и поверхности, где неделимыми являются «ширина» и «глубина», соответственно.Геометрия является пятым из семи свободных искусств по уровню обучения. Ейпредшествует тривиум, состоящий из Грамматики, Риторики и Диалектики, атакже Арифметика — старшая наука в квадривиуме, к которому такжеотносятся Музыка и Астрономия. Марциан Капелла в своём трактате «СвадьбаФилософии и Меркурия» создал визуальные образы всех семи искусств и втом числе Геометрии. Искусства олицетворяли женщины с соответствующимиатрибутами, которые сопровождались известными представителями сферы.Геометрия держит в своих руках глобус и циркуль, которым она можетмерить, реже угольник, линейку или компасы. Её сопровождает Евклид.В честь геометрии назван астероид (376) Геометрия, открытый в 1893 году.