Комбинаторная геометрия

 Файл:Pyramid of 35 spheres animation.gifframerightКубическая гранецентрированная упаковкагеометрии, в котором изучаются комбинаторные свойства геометрических объектов и связанные с ними конструкции. В комбинаторной геометрии рассматривают конечные и бесконечные дискретные множества или структуры базовых однотипных геометрических объектов (точек, прямых, окружностей, многоугольников, тел с одинаковым диаметром, целочисленных решёток и т. п.) и ставят вопросы, связанные со свойствами различных геометрических конструкций из этих объектов или на этих структурах. Проблемы комбинаторной геометрии простираются от конкретных «предметно»-комбинаторных вопросов (хотя и не всегда с простыми ответами) — замощения, упаковка кругов на плоскости, формула Пика — до вопросов общих и глубоких — гипотеза Борсука, проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера.

История

Хотя многогранники, замощения и упаковка шаров исследовались ещё Кеплером и Коши, современная комбинаторная геометрия начала формироваться в конце 19-го века. Одними из первых задач были: плотность упаковки кругов Акселя Туэ, Штайница, геометрия чисел Минковского и проблема четырёх красок .

Примеры

Представление о диапазоне задач комбинаторной геометрии дают следующие примеры.

  • Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

  • Задача о возможных и наиболее плотных упаковках кругов на плоскости и шаров в пространстве. Наиболее плотные упаковки кругов и шаров представляются очевидными. Но полное математическое доказательство для кругов было получено только в 1940 году. Для шаров компьютерное доказательство гипотезы Кеплера появилось спустя 400 лет в 1998 году в работе математика

  • Теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках утверждает, что в любом достаточно большом множестве точек в общем положении на плоскости можно найти n точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Гипотеза Эрдёша — Секереша о минимальном числе точек, обязательно содержащих выпуклый n-угольник, на сегодня не доказана. Данная задача является также задачей теории Рамсея.
  • Теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть S — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат O n-мерного евклидова пространства, имеющее объём 2n. Тогда в S найдётся целочисленная точка, отличная от O. Эта теорема положила начало геометрии чисел.
  • Гипотеза Борсука утверждает, что любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d. Эта гипотеза была доказана для размерностей 2 и 3, но опровергнута для пространств большой размерности. По известной сегодня оценке она не верна для пространств размерности 64 и более.