Выпуклая геометрия

Выпуклая геометрия — ветвь геометрии, изучающая выпуклые множества, в основном, в евклидовом пространстве. Выпуклые множества возникают естественным образом во многих областях, в том числе в вычислительной геометрии, , комбинаторной геометрии, функциональном анализе, геометрии чисел, интегральной геометрии, линейном программировании, теории вероятностей.

История

Вклад в выпуклую геометрию может быть отслежен в Началах Евклида. Точное определение выпуклой кривой и поверхности было дано Архимедом в его трактате «О шаре и цилиндре». Самостоятельной ветвью математики дисциплина стала в конце XIX столетия, в основном благодаря работам и Германа Минковского для пространств размерностей два и три. Значительная часть их результатов была вскоре обобщена на пространства большей размерности. Важность направления для прикладных задач проявилась в середине XX века, когда развитие выпуклой оптимизации (выпуклого программирования) упёрлось в некоторые факты о выпуклых телах. Дело в том, что ряд классических неравенств и оценок, полученных в начале XX века для произвольных выпуклых тел, несильно зависят (либо не зависят вовсе) от размерности пространства, это позволило избежать «проклятия размерности» — традиционной проблемы в прикладной математике, когда сложность задачи катастрофически растёт с увеличением числа переменных. Первый объемлющий обзор выпуклой геометрии в евклидовом пространстве \Rn опубликован в 1934 году и Вернером Фенхелем. В 1993 году под редакцией Грубера и вышел двухтомный «Справочник по выпуклой геометрии», включающий результаты, полученные в XX веке.

Классификация

Согласно математической предметной классификации математическая дисциплина «выпуклая и дискретная геометрия» включает три основных ветви:

  • общая выпуклость,
  • многогранники,
  • дискретная геометрия.
«Общая выпуклость» затем подразделяется на:

  • аксиоматическая и обобщённая выпуклость,
  • выпуклые множества без ограничения на размерность,
  • выпуклые множества в топологических векторных пространствах,
  • выпуклые множества в двумерных пространствах (включая выпуклые кривые),
  • выпуклые множества в трёхмерных пространствах (включая выпуклые поверхности),
  • выпуклые множества в -мерных пространствах (включая выпуклые гиперповерхности),
  • банаховы пространства конечной размерности,
  • случайные выпуклые множества и интегральная геометрия,
  • асимптотическая теория выпуклых тел,
  • аппроксимация выпуклыми множествами,
  • варианты выпуклых множеств (звездообразные, -выпуклые, и так далее),
  • теоремы, подобные теореме Хэлли и геометрическая теория трансверсалей,
  • другие проблемы комбинаторной выпуклости,
  • длина, площадь, объём,
  • смешанные объёмы и связанные понятия,
  • неравенства и экстремальные задачи,
  • выпуклые функции и выпуклое программирование,
  • сферическая и гиперболическая выпуклость.
Термин «выпуклая геометрия» используется также в комбинаторике в качестве названия одной из абстрактных моделей выпуклых множеств, одна из которых эквивалентна .