Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

История математики

Данная статья представляет собой обзор основных событий итенденций в истории математики с древнейших времён до нашихдней.В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развитияматематических знаний:

  1. Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.
  2. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.
  3. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.
  4. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.
  5. В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной, и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функция) и общая теория движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу.
  6. В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках». В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде.
Помимо большого исторического интереса, анализ эволюции математикипредставляет огромную важность для развития философии и методологииматематики. Нередко знание истории способствует и прогрессу конкретныхматематических дисциплин; например, древняя китайская задача (теорема)об остатках сформировала целый раздел теории чисел.

Возникновение арифметики игеометрии

Математика в системе человеческих знаний есть раздел, занимающийсятакими понятиями, как количество, структура, соотношение и т. п.Развитие математики началось с создания практических искусств счёта иизмерения линий, поверхностей и объёмов.Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялосьнеумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от еёконкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставалсятолько вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п.Археолог Б. А. Фролов обосновывает существование счёта уже в верхнемпалеолите.С распространением счёта на большие количества появилась идея считать нетолько единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими,например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем ив письменности. Принцип именования или изображения числа (нумерация)может быть:

  • аддитивным (один+на+дцать, XXX = 30)
  • субтрактивным (IX, девя-но-сто)
  • мультипликативным (пять*десят, три*ста)
Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. п. Сизобретением письменности стали использовать буквы или особые значки длясокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычновоспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке.Названия чисел от двух (zwei, two, duo, deux, dvi, два\ldots) додесяти, а также десятков и числа 100 в индоевропейских языках сходны.Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно,ещё до разделения этих языков. При образовании числительных убольшинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно,что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходитповсеместно распространённая десятичная система счисления. Хотя есть иисключения: 80 по-французски quatre-vingt (то есть 4 двадцатки), а90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); это употребление восходит к счёту попальцам рук и ног. Аналогично устроены числительные датского,осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинскомязыке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, первоначально считали пятёрками.Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётахиспользовали шестидесятеричную систему. А туземцы островов Торресовапролива — двоичную: Урапун (1); Окоза (2); Окоза-Урапун (3);Окоза-Окоза (4); Окоза-Окоза-Урапун (5); Окоза-Окоза-Окоза(6) Когдапонятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступеньюстали операции с числами. Натуральное число — это идеализацияконечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей,овец, дней и т. п.). Для счёта нужно иметь математические модели такихважных событий, как объединение нескольких множеств в одно или,наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения ивычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, таксказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывалисьпостепенно.Другое важное практическое действие — разделение на части — современем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию —деление. Делить на 10 частей сложно, поэтому десятичные дроби, удобные всложных вычислениях, появились сравнительно поздно. Первые дроби обычноимели знаменателем 2, 3, 4, 8 или 12. Например, у римлян стандартнойдробью была унция (1/12). Средневековые денежные и мерные системы несутна себе явный отпечаток древних недесятичных систем: 1 английский пенс =1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда и т. д.Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские ипространственные формы. Они обычно получали названия схожих с нимиреальных предметов: например, у греков «ромбос» означает волчок,«трапедсион» — столик (трапеция), «сфера» — мяч.Теория измерений появилась значительно позже, и нередко содержалаошибки: характерным примером является ложное учение о равенстве площадейфигур при равенстве их периметров, и обратно. Это неудивительно:измерительным инструментом служила мерная верёвка с узлами илипометками, так что измерить периметр можно было без труда, а дляопределения площади в общем случае ни инструментов, ни математическихметодов не было. Измерения служили важнейшим применением дробных чисел иисточником развития их теории.

ДревнийВосток

Египет

Древнейшие египетские математические тексты относятся к началу IIтысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии,мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов ивоенных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте небыло. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтомув настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем оматематике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чемможно представить, исходя из дошедших до нас документов, чтоподтверждается тем, что греческие математики учились у египтян.Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса, он же папирус Ринда(84 математические задачи), и московский папирус Голенищева (25 задач),оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры.Авторы текста нам неизвестны.Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеютприкладной характер и связаны с практикой строительства, размежеваниемземельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а потематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадейтреугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целымичислами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождениеотношений, возведение в разные степени, определение среднегоарифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой ивторой степени с одним неизвестным.Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства.Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритмего вычисления.Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока,наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивныхобобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, впапирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в ДревнемЕгипте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретатьтеоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корнии возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической игеометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решенииуравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.В области геометрии египтяне знали точные формулы для площадипрямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольногочетырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо какa+c2b+d2Эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка кпрямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположенияπ=4(89)2 = 3,1605 (погрешностьменее 1 \%).Египтяне знали точные формулы для объёма параллелепипеда и различныхцилиндрических тел, а также пирамиды и усечённой пирамиды. Пусть мыимеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основанияa, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялсяпо оригинальной, но точной формуле:(a2+ab+b2)h3.О более раннем ходе развития математики в Египте сведений нет никаких. Оболее позднем, вплоть до эпохи эллинизма — тоже. После воцаренияПтолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской игреческой культур.

Вавилон

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые внемалом количестве дошли до наших дней (более 500 тыс., из них около 400связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление оматематических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, чтокорни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы отшумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.Вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, акруг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравненийвторой степени, геометрические прогрессии. При решении применялисьпропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы спрогрессиями были глубже, чем у египтян. Линейные и квадратные уравнениярешались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическаятерминология (произведение ab называлось площадью, abc —объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чегоможно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значкиупотреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре.Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений.Венцом планиметрии была теорема Пифагора, известная ещё в эпохуХаммурапи.Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную системусчисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минути минуты на 60 секунд. Для умножения применялся громоздкий комплекттаблиц. Для вычисления квадратных корней вавилоняне изобрелиитерационный процесс: новое приближение получалось из предыдущего поформуле метода Ньютона:an+1=(an+N/an)/2В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в Египте, плюс сегменткруга и усечённый конус. В ранних документах полагают π=3; позжевстречается приближение 25/8 = 3,125. Вавилоняне умели вычислять площадиправильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Дляплощади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённаяформула, что и в Египте:S=a+c2b+d2.Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имелацелостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённыхдоказательной базы. Систематический доказательный подход в математикепоявился только у греков.

Китай

Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами, которыепоявились во II тысячелетии до н. э., и начертание их окончательноустановилось к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящеевремя. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным.Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры,можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчётывыполнялись на счётной доске, где запись чисел была иной —позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной.Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань (см. нафотографии), по принципу использования аналогичной русским счётам. Нульсначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился околоXII века н. э. Для запоминания таблицы умножения существоваласпециальная песня, которую ученики заучивали наизусть.Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая —«Математика в девяти книгах».Китайцам было известно многое, в том числе: вся базовая арифметика(включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общегократного), действия с дробями, пропорции, отрицательные числа, площади иобъёмы основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подборапифагоровых троек, решение квадратных уравнений. Был даже разработанметод фан-чэн для решения систем произвольного числа линейныхуравнений — аналог классического европейского метода Гаусса. Численнорешались уравнения любой степени — способом тянь-юань,напоминающим метод Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена.

ДревняяГреция

Файл:Escola deAtenas.jpgthumb640pxcenterРафаэль Санти. Афинская школаастрология, нумерология и т. п.). Математической теории в полном смыслеэтого слова не было, дело ограничивалось сводом эмпирических правил,часто неточных или даже ошибочных.Греки подошли к делу с другой стороны.Во-первых, пифагорейская школа выдвинула тезис «Числа правятмиром». Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя:«Природа разговаривает с нами на языке математики» (Галилей). Этоозначало, что истины математики есть в известном смысле истины реальногобытия.Файл:Geometry Genoa LouvreMRSUP67.jpgleftthumbМуза геометрии(Лувр)аксиомы, постулаты). Затем с помощью логических рассуждений(правила которых также постепенно унифицировались) из этих истинвыводились новые утверждения, которые также обязаны быть истинными. Такпоявилась дедуктивная математика.Греки проверили справедливость этого тезиса во многих областях:астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду былиотмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримойпредсказательной силой.Попытка пифагорейцев положить в основу мировой гармонии целые числа (иих отношения) была поставлена под сомнение после того, как былиобнаружены иррациональные числа. Платоновская школа (IV век до н. э.)выбрала иной, геометрический фундамент математики (Евдокс Книдский). Наэтом пути были достигнуты величайшие успехи античной математики (Евклид,Архимед, Аполлоний Пергский и другие).Греческая математика впечатляет прежде всего богатством содержания.Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытийпочерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корниалгебры — у Диофанта, аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д.Но главное не в этом. Два достижения греческой математики далекопережили своих творцов.Первое — греки построили математику как целостную науку с собственнойметодологией, основанной на чётко сформулированных законах логики(гарантирующих истинность выводов при условии, что истинны предпосылки).Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы длячеловеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.В этих двух отношениях древнегреческая математика вполне родственнасовременной.

Индия

Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. Всанскрите были средства для именования чисел до 1050. Для цифрсначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI векадо н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами,которые мы называем арабскими, а сами арабы —индийскими.Около 500 года н. э. неизвестный нам великий индийский математик изобрёлновую систему записи чисел — десятичную позиционную систему. В нейвыполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем встарых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, илишестидесятеричных, как у вавилонян. В дальнейшем индийцы использовалисчётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработалиполные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечениеквадратных и кубических корней.К V—VI векам относятся труды Ариабхаты, выдающегося индийскогоматематика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множестворешений вычислительных задач. В VII веке работал другой известныйиндийский математик и астроном, Брахмагупта. Начиная с Брахмагупты,индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами,трактуя их как долг.Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в областитеории чисел и численных методов. Индийцы далеко продвинулись в алгебре;их символика богаче, чем у Диофанта, хотя несколько громоздка (засоренасловами). Геометрия вызывала у индийцев меньший интерес. Доказательстватеорем состояли из чертежа и слова «смотри». Формулы для площадей иобъёмов, а также тригонометрию они, скорее всего, унаследовали отгреков.

Страныислама

Математика Востока, в отличие от греческой, всегда носила болеепрактичный характер. Соответственно наибольшее значение имеливычислительные и измерительные аспекты. Основными областями примененияматематики были торговля, строительство, география, астрономия иастрология, механика, оптика.В IX веке жил ал-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный заэто аль-Маджуси (маг). Изучив индийские и греческие знания, он написалкнигу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционнойсистемы во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книгапереводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово«алгоритм» (впервые в близком смысле использовано Лейбницем). Другоесочинение ал-Хорезми, «Краткая книга об исчислении аль-джабра иаль-мукабалы», оказало большое влияние на европейскую науку и породилоещё один современный термин «алгебра».Исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но такжегеометрии и тригонометрии (в основном для астрономических приложений).Насир ад-Дин ат-Туси (XIII век) и Ал-Каши (XV век) опубликоваливыдающиеся работы в этих областях.В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаевудалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокийтеоретический уровень и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезомдело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозновладели классическими методами, однако новых результатов полученонемного.

ЗападнаяЕвропа

Средневековье, IV—XVвека

В V веке наступил конец Западной Римской империи, и территория ЗападнойЕвропы надолго превратилась в поле непрестанных сражений с завоевателямии разбойниками (гунны, готы, венгры, арабы, норманны и т. п.). Развитиенауки прекратилось. Потребность в математике ограничивается арифметикойи расчётом календаря церковных праздников, причём арифметика изучаетсяпо древнему учебнику Никомаха Геразского в сокращённом переводе Боэцияна латинский.Среди немногих высокообразованных людей можно отметить ирландца БедуДостопочтенного (он занимался календарём, пасхалиями, хронологией,теорией счёта на пальцах) и монаха Герберта, с 999 года — римскогопапы под именем Сильвестр II, покровителя наук; ему приписываютавторство нескольких трудов по астрономии и математике. Популярныйсборник занимательных математических задач издал англосаксонский поэт иучёный Алкуин (VIII век).Стабилизация и восстановление европейской культуры начинаются с XI века.Появляются первые университеты (Салерно, Болонья). Расширяетсяпреподавание математики: в традиционный квадривиум входили арифметика,геометрия, астрономия и музыка.Первое знакомство европейских учёных с античными открытиями происходилов Испании. В XII веке там переводятся (с греческого и арабского налатинский) основные труды великих греков и их исламских учеников. С XIVвека главным местом научного обмена становится Византия. Особенно охотнопереводились и издавались «Начала» Евклида; постепенно они обрасталикомментариями местных геометров. Единственным относительно крупнымматематиком за всю послеантичную историю Византии был Максим Плануд,комментатор Диофанта и популяризатор десятичной системы.В конце XII века на базе нескольких монастырских школ был созданПарижский университет, где обучались тысячи студентов со всех концовЕвропы; почти одновременно возникают Оксфорд и Кембридж в Британии.Интерес к науке растёт, и одно из проявлений этого — смена числовойсистемы. Долгое время в Европе применялись римские цифры. В XII—XIIIвеках публикуются первые в Европе изложения десятичной позиционнойсистемы записи (сначала переводы ал-Хорезми, потом собственныеруководства), и начинается её применение. С XIV века индо-арабские цифрыначинают вытеснять римские даже на могильных плитах. Только в астрономииещё долго применялась шестидесятеричная вавилонская арифметика.Первым крупным математиком средневековой Европы стал в XIII векеЛеонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи. Основной еготруд: «Книга абака» (1202 год, второе переработанное издание — 1228год). Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. Фибоначчи былхорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних исистематизировал значительную их часть в своей книге. Его изложение пополноте и глубине сразу стало выше всех античных и исламских прототипов,и долгое время было непревзойдённым. Эта книга оказала огромное влияниена распространение математических знаний, популярность индийских цифр идесятичной системы в Европе.В книгах «Арифметика» и «О данных числах» Иордана Неморарияусматриваются зачатки символической алгебры, до поры до времени неотделившейся от геометрии.В это же время Роберт Гроссетест и Роджер Бэкон призывают к созданиюэкспериментальной науки, которая на математическом языке сможет описатьприродные явления.В XIV веке университеты появляются почти во всех крупных странах (Прага,Краков, Вена, Гейдельберг, Лейпциг, Базель и др.).Философы из Оксфордского Мертон-Колледжа, жившие в XIV веке и входившиев группу так называемых оксфордских калькуляторов, развивалилогико-математическое учение об усилении и ослаблении качеств. Другойвариант этого же учения развивал в Сорбонне Николай Орем. Он ввёлизображение зависимости с помощью графика, исследовал сходимость рядов.В алгебраических трудах он рассматривал дробные показатели степени.Видный немецкий математик и астроном XV века Иоганн Мюллер стал широкоизвестен под именем Региомонтан — латинизированным названием егородного города Кёнигсберг. Он напечатал первый в Европе труд, специальнопосвящённый тригонометрии. По сравнению с арабскими источниками новогонемного, но надо особо отметить систематичность и полноту изложения.Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века, друг Леонардо да Винчи, далясный (хотя не слишком удобный) набросок алгебраической символики.

XVI век

XVI век стал переломным для европейской математики. Полностью усвоивдостижения предшественников, она несколькими мощными рывками вырваласьдалеко вперёд.Первым крупным достижением стало открытие общего метода решенияуравнений третьей и четвёртой степени. Итальянские математики дельФерро, Тарталья и Феррари решили проблему, с которой несколько веков немогли справиться лучшие математики мира. При этом обнаружилось, что врешении иногда появлялись «невозможные» корни из отрицательных чисел.После анализа ситуации европейские математики назвали эти корни«мнимыми числами» и выработали правила обращения с ними,приводящие к правильному результату. Так в математику впервые вошликомплексные числа.Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет. Онокончательно сформулировал символический метаязык арифметики —буквенную алгебру. С её появлением открылась возможность проведенияисследований невиданной ранее глубины и общности. В своей книге«Введение в аналитическое искусство» Виет показал примеры мощинового метода, найдя знаменитые формулы Виета. Символика Виета ещё небыла похожа на принятую ныне, современный её вариант позднее предложилДекарт.Третье великое открытие XVI века — изобретение логарифмов (ДжонНепер). Сложные расчёты упростились во много раз, а математика получилановую неклассическую функцию с широкой областью применения.В 1585 году фламандец Симон Стевин издаёт книгу «Десятая» оправилах действий с десятичными дробями, после чего десятичная системаодерживает окончательную победу и в области дробных чисел. Стевин такжепровозгласил полное равноправие рациональных и иррациональных чисел, атакже (с некоторыми оговорками) и отрицательных чисел.Одновременно растёт престиж математики, в изобилии появляется множествопрактических задач, требующих решения — в артиллерии, мореплавании,строительстве, промышленности, гидравлике, астрономии, картографии,оптике и др. И, в отличие от античности, учёные Возрождения не чуралисьтаких задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было.Появляются первые Академии наук. В XVI—XVII веках роль университетскойнауки падает, появляется множество учёных-непрофессионалов: Стевин —военный инженер, Виет и Ферма — юристы, Дезарг и Рен — архитекторы,Лейбниц — чиновник, Непер, Декарт, Паскаль — частные лица.

XVII век

В XVII веке быстрое развитие математики продолжается, и к концу векаоблик науки коренным образом меняется.Рене Декарт в трактате «Геометрия» исправляет стратегическую ошибкуантичных математиков и восстанавливает алгебраическое понимание числа(вместо геометрического). Более того, он указывает способ переводагеометрических предложений на алгебраический язык (с помощью системыкоординат), после чего исследование становится намного эффективнее. Такродилась аналитическая геометрия. Декарт рассмотрел множество примеров,иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немалорезультатов, неизвестных древним. Особо следует отметить разработаннуюим математическую символику, близкую к современной.Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение Валлис, Фермаи многие другие видные математики.Пьер Ферма, Гюйгенс и Якоб Бернулли открывают новый раздел математики,которому суждено большое будущее — теорию вероятностей. Якоб Бернуллиформулирует первую версию закона больших чисел.И, наконец, появляется не очень чёткая, но глубокая идея — анализпроизвольных гладких кривых с помощью разложения их на бесконечно малыеотрезки прямых. Первой реализацией этой идеи был во многом несовершенныйметод неделимых (Кеплер, Кавальери, Ферма), и уже с его помощью былосделано множество новых открытий. В конце XVII века идея неделимых быласущественно расширена Ньютоном и Лейбницем, и появился исключительномогучий инструмент исследования — математический анализ. Этоматематическое направление стало основным в следующем, XVIII веке.Теория отрицательных чисел всё ещё находилась в стадии становления.Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 —в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, иполучается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»).Комплексные числа считались фиктивными, правила действий с ними не былиокончательно отработаны. Более того, было неясно, все ли «мнимые числа»можно записать в виде a+bi или, скажем, при извлечении некоторогокорня могут появиться мнимости, не сводящиеся к этой форме (так полагалдаже Лейбниц). Только в XVIII веке Даламбер и Эйлер установили, чтокомплексные числа замкнуты относительно всех операций, включаяизвлечение корня любой степени.Во второй половине XVII века появляется научная периодика, ещё неспециализированная по видам наук. Начало положили Лондон и Париж, ноособо важную роль сыграл журнал Acta Eruditorum (1682, Лейпциг,на латинском языке). Французская Академия наук издаёт свои записки(Memoires) с 1699 года. Выходили эти журналы редко, и перепискапродолжала оставаться незаменимым средством распространения информации.

XVIII век

XVIII век в математике можно кратко охарактеризовать как век анализа,который стал главным объектом приложения усилий математиков. Способствуябурному развитию естественных наук, анализ, в свою очередь,прогрессировал сам, получая от них всё более и более сложные задачи. Настыке этого обмена идеями родилась математическая физика.Критика метода бесконечно малых за плохую обоснованность быстро смолклапод давлением триумфальных успехов нового подхода. В науке, благодаряНьютону, царила механика — все прочие взаимодействия считалисьвторичными, следствиями механических процессов. Развитие анализа имеханики происходили в тесном переплетении; первым это объединениеосуществил Эйлер, который убрал из ньютоновской механики архаичныеконструкции и подвёл под динамику аналитический фундамент (1736). Сэтого момента механика стала прикладным разделом анализа. Процессзавершил Лагранж, чья «Аналитическая механика» демонстративно несодержит ни одного чертежа. Одновременно анализ алгебраизировался иокончательно (начиная с Эйлера) отделился от геометрии и механики.Главным методом познания природы становится составление и решениедифференциальных уравнений. После динамики точки настал черёд динамикитвёрдого тела, затем — жидкости и газа. Прогрессу в этой областинемало способствовал спор о струне, в котором участвовали ведущиематематики Европы.Теория тяготения Ньютона поначалу встречала трудности в описаниидвижения Луны, однако работы Клеро, Эйлера и Лапласа ясно показали, чтоникаких дополнительных сил, кроме ньютоновских, в небесной механике нет.Анализ распространяется на комплексную область. Аналитическоепродолжение большинства функций проблем не вызвало, и были обнаруженынеожиданные связи между стандартными функциями (формула Эйлера).Затруднения встретились для комплексного логарифма, но Эйлер их успешнопреодолел. Были введены конформные отображения, высказана гипотеза оединственности аналитического продолжения. Комплексные функции нашлидаже применение в прикладных науках — гидродинамике, теории колебаний(Даламбер, Эйлер).Далеко продвинулись теория и техника интегрирования. Входят в широкоеупотребление кратные интегралы (Эйлер, Лагранж), причём не только вдекартовых координатах. Появляются и поверхностные интегралы (Лагранж,Гаусс). Усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений, какобыкновенных, так и в частных производных. Математики проявляютисключительную изобретательность при решении дифференциальных уравненийв частных производных, для каждой задачи изобретая свои методы решения.Сформировалось понятие краевой задачи, возникли первые методы еёрешения.В конце XVIII века было положено начало общей теории потенциала(Лагранж, Лаплас, Лежандр). Для тяготения потенциал ввёл Лагранж (1773,термин предложил Грин в 1828 году). Вскоре Лаплас обнаружил связьпотенциала с уравнением Лапласа и ввёл важный класс ортогональныхсферических функций.Возникают многообещающее вариационное исчисление и вариационные принципыфизики (Эйлер, Лагранж).Лидером математиков XVIII века был Эйлер, чей исключительный талантналожил отпечаток на все основные математические достижения столетия.Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Эйлерсущественно обогатил ассортимент функций, разработал техникуинтегрирования, далеко продвинул практически все области математики.Наряду с Мопертюи он сформулировал принцип наименьшего действия каквысший и универсальный закон природы.В теории чисел окончательно легализуются мнимые числа, хотя полнаятеория их ещё не создана. Доказана (ещё не вполне строго) основнаятеорема алгебры. Эйлер разработал теорию делимости целых чисел и теориюсравнений (вычетов), завершённую Гауссом. Эйлер ввёл понятиепервообразного корня, доказал его существование для любого простогочисла и нашёл количество первообразных корней, открыл квадратичный законвзаимности. Он и Лагранж опубликовали общую теорию цепных дробей, и с ихпомощью решили немало задач диофантова анализа. Эйлер также обнаружил,что в ряде задач теории чисел можно применить аналитические методы.Стремительно развивается линейная алгебра. Первое подробное описаниеобщего решения линейных систем дал в 1750 году Габриэль Крамер. Близкуюк современной символику и глубокий анализ определителей дал АлександрТеофил Вандермонд (1735—1796). Лаплас в 1772 году дал разложениеопределителя по минорам. Теория определителей быстро нашла множествоприложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решенииалгебраических систем, исследовании форм и т. д.В алгебре назревают новые идеи, завершившиеся уже в XIX веке теориейГалуа и абстрактными структурами. Лагранж при исследовании уравненийпятой степени и выше вплотную подходит к теории Галуа (1770), выяснив,что «истинная метафизика уравнений — теория подстановок».В геометрии появляются новые разделы: дифференциальная геометрия кривыхи поверхностей, начертательная геометрия (Монж), проективная геометрия(Лазар Карно).Теория вероятностей перестаёт быть экзотикой и доказывает своюполезность в самых неожиданных областях человеческой деятельности. ДеМуавр и Даниил Бернулли открывают нормальное распределение. Возникаютвероятностная теория ошибок и научная статистика. Классический этапразвития теории вероятностей завершили работы Лапласа. Однако приложенияеё к физике тогда ещё почти отсутствовали (не считая теории ошибок).Центрами математических исследований становятся Академии наук, побольшей части государственные. Значение университетов невелико (исключаястраны, где академий ещё нет), физико-математические факультеты всё ещёотсутствуют. Ведущую роль играет Парижская академия. Английская школапосле Ньютона обособляется и на целый век снижает научный уровень; числовидных математиков в Англии XVIII века невелико — де Муавр(французский эмигрант-гугенот), Котс, Тейлор, Маклорен, Стирлинг.Математики становятся профессионалами, любители почти исчезают со сцены.В конце XVIII века появляются специализированные математические журналы,увеличивается интерес к истории науки. Выходит двухтомная «Историяматематики» Монтюкла (посмертно переизданная и дополненная до 4 томов).Расширяется издание научно-популярной литературы.

XIX век

Неоспоримая эффективность применения математики в естествознанииподталкивала учёных к мысли, что математика, так сказать, встроена вмироздание, является его идеальной основой. Другими словами, познание вматематике есть часть познания реального мира. Многие учёныеXVII—XVIII веков в этом и не сомневались. Но в XIX веке эволюционноеразвитие математики было нарушено, и этот, казавшийся непоколебимым,тезис был поставлен под сомнение.

  • В геометрии, алгебре, анализе появляются многочисленные нестандартные структуры с необычными свойствами: неевклидовы и многомерные геометрии, кватернионы, конечные поля, некоммутативные группы и т. п.
  • Объектами математического исследования всё больше становятся нечисловые объекты: события, предикаты, множества, абстрактные структуры, векторы, тензоры, матрицы, функции, многолинейные формы и т. д.
  • Возникает и получает широкое развитие математическая логика, в связи с чем появилось искушение связать именно с ней коренные основания математики.
  • Георг Кантор вводит в математику предельно абстрактную теорию множеств, а заодно понятие актуальной бесконечности произвольного масштаба. В конце века при попытке обосновать фундамент математики на основе теории множеств были обнаружены противоречия, которые заставили задуматься над непростыми вопросами: что означает «существование» и «истинность» в математике?
В целом в XIX веке роль и престиж математики в науке и экономике заметнорастут. Соответственно растёт и её государственная поддержка. Математикавновь становится по преимуществу университетской наукой. Появляютсяпервые математические общества: Лондонское, Американское, Французское,Московское, а также общества в Палермо и Эдинбурге.Рассмотрим вкратце развитие основных областей математики в XIX веке.
agraphГеометрияЕсли XVIII век был веком анализа, то XIX век по преимуществу стал векомгеометрии. Быстро развиваются созданные в конце XVIII веканачертательная геометрия (Монж, Ламберт) и возрождённая проективнаягеометрия (Монж, Понселе, Лазар Карно). Появляются новые разделы:векторное исчисление и векторный анализ, геометрия Лобачевского,многомерная риманова геометрия, теория групп преобразований. Происходитинтенсивная алгебраизация геометрии — в неё проникают методы теориигрупп, возникает алгебраическая геометрия. В конце века создана«качественная геометрия» — топология.Дифференциальная геометрия получила мощный толчок после выходачрезвычайно содержательного труда Гаусса «Общие исследования о кривыхповерхностях» (1822), где впервые были явно определены метрика (перваяквадратичная форма) и связанная с ней внутренняя геометрия поверхности.Исследования продолжила парижская школа. В 1847 году Френе и Серреопубликовали известные формулы Френе для дифференциальных атрибутовкривой.Крупнейшим достижением стало введение понятия вектора и векторного поля.Первоначально векторы ввёл У. Гамильтон в связи со своими кватернионами(как их трёхмерную мнимую часть). У Гамильтона уже появилось скалярное ивекторное произведение. Сверх того, Гамильтон ввёл дифференциальныйоператор («набла») и многие другие понятия векторногоанализа, в том числе определение вектор-функции и тензорногопроизведения.Компактность и инвариантность векторной символики, использованной впервых трудах Максвелла, заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементывекторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придалвекторному исчислению современный вид.Проективная геометрия после полутора веков забвения вновь привлеклавнимание — сначала Монжа, затем его учеников — Понселе и ЛазараКарно. Карно сформулировал «принцип непрерывности», который позволяетсразу распространить некоторые свойства исходной фигуры на фигуры,полученные из неё непрерывным преобразованием (1801—1806). Несколькопозднее Понселе ясно определил проективную геометрию как науку опроективных свойствах фигур и дал систематическое изложение еёсодержания (1815). У Понселе уже полностью легализованы бесконечноудалённые точки (даже мнимые). Он сформулировал принцип двойственности(прямых и точек на плоскости).С конца 1820-х годов формируется школа проективных геометров в Германии(Мёбиус, Плюккер, Гессе, Штейнер и другие). В Англии ряд работопубликовал Кэли. При этом стали использоваться и аналитические методы,особенно после открытия Мёбиусом однородных проективных координат,включающих и бесконечно удалённую точку. Во Франции работы Понселепродолжил Мишель Шаль.Большое влияние на развитие математики имела знаменитая речь Римана(1854) «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Риман определилобщее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольнойположительно определённой квадратичной формы. Далее Риман обобщил теориюповерхностей Гаусса на многомерный случай; при этом появляютсязнаменитый риманов тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии.Существование неевклидовой метрики, по Риману, может объясняться либодискретностью пространства, либо некими физическими силами связи. Вконце века Г. Риччи завершает классический тензорный анализ.Во второй половине XIX века наконец привлекает общее внимание геометрияЛобачевского. Тот факт, что даже у классической геометрии существуетальтернатива, произвёл огромное впечатление на весь научный мир. Онтакже стимулировал переоценку многих устоявшихся стереотипов вматематике и физике.Ещё один переломный момент развития геометрии наступил в 1872 году,когда Феликс Клейн выступил со своей «Эрлангенской программой». Онклассифицировал геометрические науки по используемой группепреобразований — вращения, аффинные, проективные, общие непрерывныеи т. п. Каждый раздел геометрии изучает инварианты соответствующейгруппы преобразований. Клейн рассмотрел также важнейшее понятиеизоморфизма (структурного тождества), который называл «перенесением».Тем самым был намечен новый этап алгебраизации геометрии, второй послеДекарта.В 1872—1875 годах Камилл Жордан опубликовал ряд работ по аналитическойгеометрии n-мерного пространства (кривых и поверхностей), а в конце векаон предложил общую теорию меры.В самом конце века рождается топология, сначала под названиемanalysis situs. Топологические методы фактически в ряде работиспользовали Эйлер, Гаусс, Риман, Жордан и др. Вполне ясно предмет новойнауки описывает Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе».Окончательно комбинаторная топология оформилась в работах Пуанкаре(1895—1902).
agraphМатематическийанализАнализ в XIX веке развивался путём быстрой, но мирной эволюции.Наиболее существенной переменой стало создание фундамента анализа (Коши,затем Вейерштрасс). Благодаря Коши мистическое понятие актуальногобесконечно малого исчезло из математики (хотя в физике оно используетсядо сих пор). Были поставлены вне науки и сомнительные действия срасходящимися рядами. Коши построил фундамент анализа на основе теориипределов, близкой к ньютоновскому пониманию, и его подход сталобщепринятым; анализ стал менее алгебраичным, но более надёжным. Тем неменее до уточнений Вейерштрасса многие предрассудки ещё сохранялись:например, Коши верил, что непрерывная функция всегда дифференцируема, асумма ряда из непрерывных функций непрерывна.Широчайшее развитие получила теория аналитических функций комплексногопеременного, над которой работали Лаплас, Коши, Абель, Лиувилль, Якоби,Вейерштрасс и другие. Значительно расширился сам класс специальныхфункций, особенно комплексных. Главные усилия были направлены на теориюабелевых функций, которые не вполне оправдали возлагавшиеся на нихнадежды, но тем не менее способствовали обогащению аналитическогоинструментария и созданию в XX веке более общих теорий.Многочисленные прикладные задачи деятельно стимулировали теориюдифференциальных уравнений, выросшую в обширную и плодотворнуюматематическую дисциплину. Детально исследованы основные уравненияматематической физики, доказаны теоремы существования решения, созданакачественная теория дифференциальных уравнений (Пуанкаре).К концу века происходит некоторая геометризация анализа — появляютсявекторный анализ, тензорный анализ, исследуется бесконечномерноефункциональное пространства (см. Банахово пространство, Гильбертовопространство). Компактная инвариантная запись дифференциальных уравненийгораздо удобнее и нагляднее, чем громоздкая координатная запись.
agraphАлгебра и теориячиселНамеченные у Эйлера аналитические методы помогли решить немало трудныхпроблем теории чисел (Гаусс, Дирихле и другие). Гаусс дал первоебезупречное доказательство основной теоремы алгебры. Жозеф Лиувилльдоказал существование бесконечного количества трансцендентных чисел(1844, подробнее в 1851), дал достаточный признак трансцендентности ипостроил примеры таких чисел в виде суммы ряда. В 1873 году Шарль Эрмитпубликует доказательство трансцендентности числа Эйлера e, а в1882 году Линдеман применил аналогичный метод и к числу π.Файл:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk -347941.jpgthumbПамятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл кватернионы»У. Гамильтон открыл удивительный некоммутативный мир кватернионов.Возникла геометрическая теория чисел (Минковский).Эварист Галуа, опередивший своё время, представляет глубокий анализрешения уравнений произвольных степеней. Ключевыми понятиямиисследования оказываются алгебраические свойства связанных с уравнениемгруппы подстановок и полей расширения. Галуа завершил работы Абеля,доказавшего, что уравнения степени выше 4-й неразрешимы в радикалах.По мере усвоения идей Галуа, со второй половины века, быстро развиваетсяобщая алгебра. Жозеф Лиувилль публикует и комментирует работы Галуа. В1850-е годы Кэли вводит понятие абстрактной группы. Термин «группа»становится общепринятым и проникает практически во все областиматематики, а в XX веке — в физику и кристаллографию.Формируется понятие линейного пространства (Грассман и Кэли,1843—1844). В 1858 году Кэли публикует общую теорию матриц, определяетоперации над ними, вводит понятие характеристического многочлена. К 1870году доказаны все базовые теоремы линейной алгебры, включая приведение кжордановой нормальной форме.В 1871 году Дедекинд вводит понятия кольца, модуля и идеала. Он иКронекер создают общую теорию делимости.В конце XIX века в математику входят группы Ли.
agraphТеориявероятностейНа первое место выходят теория ошибок, статистика и физическиеприложения. Этим занимались Гаусс, Пуассон, Коши. Была выявлена важностьнормального распределения как предельного во многих реальных ситуациях.Во всех развитых странах возникают статистические департаменты/общества.Благодаря работам Карла Пирсона возникает математическая статистика спроверкой гипотез и оценкой параметров.Всё же математические основы теории вероятностей в XIX веке ещё не былисозданы, и Гильберт в начале XX века отнёс эту дисциплину к прикладнойфизике.
agraphМатематическаялогикаПосле неудачи проекта «Универсальной характеристики» Лейбница прошлополтора века, прежде чем попытка создать алгебру логики повторилась. Ноповторилась она на новой основе: концепция множества истинностипозволила построить математическую логику как теорию классов, стеоретико-множественными операциями. Пионерами стали британскиематематики Август (Огастес) де Морган и Джордж Буль.Файл:LL deMorgan.pngthumbЗаконы де Моргана в символике их автора1847) де Морган описал понятие универсума и символы длялогических операторов, записал известные «законы де Моргана». Позже онввёл общее понятие математического отношения и операций над отношениями.Джордж Буль независимо разработал свой, более удачный, вариант теории. Всвоих работах 1847—1854 годов он заложил основы современнойматематической логики и описал алгебру логики (булеву алгебру).Появились первые логические уравнения, введено понятие конституэнты(разложения логической формулы).Уильям Стенли Джевонс продолжил систему Буля и даже построил «логическуюмашину», способную решать логические задачи. В 1877 году Эрнест Шрёдерсформулировал логический принцип двойственности. Далее Готлоб Фрегепостроил исчисление высказываний. Чарльз Пирс в конце XIX века изложилобщую теорию отношений и пропозициональных функций, а также ввёлкванторы. Современный вариант символики предложил Пеано. После этого всёбыло готово для разработки в школе Гильберта теории доказательств.
agraphОбоснованиематематикиК началу XIX века относительно строгое логическое (дедуктивное)обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её ужетогда справедливо считалась недостаточной. Свойства новых объектов(например, комплексных чисел, бесконечно малых и т. д.) попростусчитались в целом такими же, как у объектов уже известных; если же такаяэкстраполяция была невозможна, свойства подбирались опытным путём.Построение фундамента математики началось с анализа. В 1821 году Кошиопубликовал «Алгебраический анализ», где чётко определил основныепонятия на основе концепции предела. Всё же он сделал ряд ошибок,например, почленно интегрировал и дифференцировал ряды, не доказываядопустимость таких операций. Завершил фундамент анализа Вейерштрасс,который выяснил роль важного понятия равномерной непрерывности.Одновременно Вейерштрасс (1860-е годы) и Дедекинд (1870-е) далиобоснование теории вещественных чисел.1837 год: Уильям Гамильтон строит модель комплексных чисел как парвещественных.В 1870-е годы были легализованы неевклидовы геометрии. Их модели на базеевклидового пространства доказали, что они так же непротиворечивы, как игеометрия Евклида.1879 год: Фреге публикует систему аксиом математической логики.1888 год: Дедекинд предлагает набросок системы аксиом для натуральныхчисел. Годом позже законченную систему аксиом предложил Пеано.1899 год: выходят в свет «Основания геометрии» Гильберта.В итоге к концу века почти вся математика была построена на базе строгойаксиоматики. Непротиворечивость основных разделов математики (кромеарифметики) была строго доказана (точнее говоря, сведена кнепротиворечивости арифметики). Аксиоматический фундамент для теориивероятностей и теории множеств появился позже, в XX веке.
agraphТеория множеств иантиномииВ 1873 году Георг Кантор ввёл понятие произвольного числового множества,а затем и общее понятие множества — самого абстрактного понятия вматематике. С помощью взаимно-однозначных отображений он ввёл понятиеравномощности множеств, потом определил сравнение мощностей набольше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине ихмощности: конечные, счётные, континуальные и т. д.Иерархию мощностей Кантор рассматривал как продолжение иерархии(порядка) целых чисел (трансфинитные числа). Тем самым в математику былавведена актуальная бесконечность — понятие, которого прежниематематики старательно избегали.На первых порах теория множеств встретила у многих математиковдоброжелательный приём. Она помогла обобщить жордановскую теорию меры,успешно использовалась в теории интеграла Лебега и многимирассматривалась как основа будущей аксиоматики всей математики. Однакопоследующие события показали, что привычная логика не годится приисследовании бесконечности, а интуиция не всегда помогает сделатьправильный выбор.Первое противоречие обнаружилось при рассмотрении самого большогомножества — множества всех множеств (1895). Его пришлось исключить изматематики как недопустимое. Однако появились и другие противоречия(антиномии).Анри Пуанкаре, который вначале принял теорию множеств и даже использовалв своих исследованиях, позже решительно отверг её и назвал «тяжёлойболезнью математики». Однако другая группа математиков, включая БертранаРассела, Гильберта и Адамара, выступили в защиту «канторизма».Положение усугубило открытие «аксиомы выбора» (1904, Цермело), которая,оказывается, неосознанно применялась во многих математическихдоказательствах (например, в теории вещественных чисел). Эта аксиомаобъявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно,и это обстоятельство ряд математиков посчитал совершенно неприемлемым,тем более что некоторые следствия аксиомы выбора противоречили интуиции(парадокс Банаха — Тарского и др.).В начале XX века удалось согласовать вариант теории множеств, свободныйот обнаруженных ранее противоречий (теория классов), так что большинствоматематиков приняли теорию множеств. Однако былого единства математикибольше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды наобоснование математики.

Россия

В 1701 году императорским указом была учреждена в Сухаревой башнематематически-навигацкая школа, где преподавал Л. Ф. Магницкий.По поручению Петра I он написал (на церковно-славянском) известныйучебник арифметики (1703), а позже издавал навигационные илогарифмические таблицы. Учебник Магницкого для того времени былисключительно добротным и содержательным. Автор тщательно отобрал всёлучшее, что было в существовавших тогда учебниках, и изложил материалясно, с многочисленными примерами и пояснениями.Мощным толчком к развитию российской науки послужили реформыМ. М. Сперанского. В начале XIX века было создано Министерство народногопросвещения, возникли учебные округа, и гимназии стали открываться вовсех крупных городах России. При этом содержание курса математики былодовольно обширным — алгебра, тригонометрия, приложения к физике и др.В XIX веке молодая российская математика уже выдвинула учёных мировогоуровня.Первым из них стал Михаил Васильевич Остроградский. Как и большинствороссийских математиков до него, он разрабатывал преимущественноприкладные задачи анализа. В его работах исследуется распространениетепла, волновое уравнение, теория упругости, электромагнетизм. Занималсятакже теорией чисел. Академик пяти мировых академий. Важные прикладныеработы выполнил Виктор Яковлевич Буняковский — чрезвычайноразносторонний математик, изобретатель, признанный авторитет по теориичисел и теории вероятностей, автор фундаментального труда «Основанияматематической теории вероятностей».Фундаментальными вопросами математики в России первой половины XIX веказанялся только Николай Иванович Лобачевский, который выступил противдогмата евклидовости пространства. Он построил геометрию Лобачевского иглубоко исследовал её необычные свойства. Лобачевский настолько опередилсвоё время, что был оценён по заслугам только спустя много лет послесмерти. Несколько важных открытий общего характера сделала СофьяКовалевская.Во второй половине XIX века российская математика, при общем прикладномуклоне, публикует и немало фундаментальных результатов. Пафнутий ЛьвовичЧебышёв, математик-универсал, сделал множество открытий в самых разных,далёких друг от друга, областях математики — теории чисел, теориивероятностей, теории приближения функций. Андрей Андреевич Марковизвестен первоклассными работами по теории вероятностей, однако получилвыдающиеся результаты и в других областях — теории чисел иматематическом анализе. К концу XIX века формируются две активныеотечественные математические школы — московская и петербургская.

XX век: основныедостижения

Престиж профессии математика стал в XX столетии заметно выше. Математикаразвивалась экспоненциально, и невозможно сколько-нибудь полноперечислить сделанные открытия, но некоторые наиболее серьёзныедостижения упомянуты ниже.

Новыенаправления

В 1900 году Давид Гильберт на Международном конгрессе математиковпредставил список из 23 нерешённых математических проблем. Эти проблемыохватили множество областей математики и сформировали центр приложенияусилий математиков XX столетия. Сегодня десять проблем из списка решены,семь частично решены, и две проблемы всё ещё открыты. Оставшиеся четыресформулированы слишком обобщённо, чтобы имело смысл говорить об ихрешении.Особенное развитие в XX веке получили новые области математики; кромекомпьютерных потребностей, это во многом связано с запросами теорииуправления, квантовой физики и других прикладных дисциплин.

  • Топология.
  • Функциональный анализ.
  • Различные разделы дискретной математики, в том числе теория игр, теория графов, теория кодирования.
  • Информатика и кибернетика, теория информации, теория алгоритмов.
  • Теория групп Ли.
  • Теория компьютерного моделирования.
  • Теория оптимизации, в том числе глобальной.
  • Теория случайных процессов.
  • Методы математической статистики.
Бурно развивались и многие «старые» области математики.

  • Алгебраическая геометрия
  • Комплексный анализ, особенно для функций многих переменных
  • Математическая физика
  • Общая алгебра
  • Риманова геометрия
  • Теория вероятностей
Среди наиболее выдающихся математиков XX века можно назвать (помимоотдельно упомянутых в данном разделе) такие имена:

  • Жак Адамар — теория чисел.
  • Павел Сергеевич Александров — топология.
  • Стефан Банах — функциональный анализ, теория множеств.
  • Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — анализ, топология, теория множеств, философия математики.
  • Герман Вейль — алгебра, анализ, теория чисел, математическая логика, математическая физика и др.
  • Норберт Винер — создатель кибернетики.
  • Израиль Моисеевич Гельфанд — функциональный анализ, топология, алгебра, группы Ли, математическая физика и др.
  • Александр Гротендик — алгебраическая геометрия.
  • Жан Дьёдонне — функциональный анализ, группы Ли, топология, алгебраическая геометрия.
  • Анри Картан — анализ, топология.
  • Джон фон Нейман — математическая логика и теория компьютеров, математическая физика, теория множеств, информатика, экономика, теория игр и др.
  • Альфред Тарский — математическая логика.
  • Альфред Норт Уайтхед — математическая логика.
  • Феликс Хаусдорф — топология, теория множеств, функциональный анализ, теория чисел.
  • Александр Яковлевич Хинчин — теория вероятностей.
  • Алонзо Чёрч — информатика, математическая логика.
  • Клод Элвуд Шеннон — информатика, кибернетика.
  • Эрнст Цермело — математическая логика, теория множеств.

Математическая логика и основанияматематики

В 1931 году Курт Гёдель опубликовал две свои теоремы о неполноте,которые установили ограниченность математической логики. Это положилоконец замыслу Давида Гильберта создать полную и непротиворечивую системуоснований математики. Несколько ранее в исследованиях Лёвенгейма иСкулема 1915—1920 годов (теорема Лёвенгейма — Скулема) обнаружен ещёодин обескураживающий факт: никакая аксиоматическая система не можетбыть категорична. Другими словами, как бы тщательно ни формулироваласьсистема аксиом, всегда найдётся интерпретация, совершенно не похожая нату, ради которой эта система проектировалась. Это обстоятельство такжеподрывает веру в универсальность аксиоматического подхода.Тем не менее формальная аксиоматика признана необходимой для того, чтобыпрояснить фундаментальные принципы, на которые опираются разделыматематики. Кроме того, аксиоматизация помогает выявлению неочевидныхсвязей между разными частями математики и тем самым способствует ихунификации.Капитальные результаты получены в теории алгоритмов. Было доказано, чтотеорема может быть правильной, но алгоритмически неподдающейся (точнее,нет разрешающей процедуры, Чёрч, 1936).В 1933 году Андрей Колмогоров завершил (общепризнанную теперь)аксиоматику теории вероятностей.В 1963 году Пол Коэн доказал, что континуум-гипотеза Кантора недоказуема(в обычной аксиоматике теории множеств).

Алгебра и теориячисел

В начале века Эмми Нётер и Ван дер Варден завершили построение основобщей алгебры, структуры которой (группы, поля, кольца, линейныепространства и др.) пронизывают теперь всю математику. Вскоре теориягрупп с большим успехом проникла в физику и кристаллографию. Другимважным открытием начала века стало создание и развитие плодотворнойтеории p-адических чисел.В 1910-х годах Рамануджан сформулировал более чем 3000 теорем, включаясвойства функции разбиения числа и её асимптотических оценок. Он такжеполучил важные результаты в области исследования гамма-функции,модулярных форм, расходящихся рядов, гипергеометрических рядов и теориипростых чисел.Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в 1995 году, закрывмноговековую проблему.

Математический анализ и математическаяфизика

В начале XX века Лебег и Борель обобщили жорданову теорию меры; на еёоснове был построен интеграл Лебега. В школе Гильберта появилсяфункциональный анализ, вскоре нашедший непосредственное применение вквантовой физике.В 1960-х годах Абрахам Робинсон опубликовал изложение нестандартногоанализа — альтернативного подхода к обоснованию математическогоанализа на основе актуальных бесконечно малых.Интенсивно развивается теория многомерных многообразий, стимулируемаяпотребностями физики (ОТО, теория струн и др.).

Геометрия итопология

Общая топология стремительно развивается и находит применение в самыхразличных областях математики. Массовый интерес вызвали фракталы,открытые Бенуа Мандельбротом (1975).Герман Минковский в 1907 году разработал геометрическую моделькинематики специальной теории относительности, позднее послужившуюосновой для Общей теории относительности (ОТО). Обе эти теории послужилистимулом для быстрого развития многомерной дифференциальной геометриипроизвольных гладких многообразий — в частности, римановых ипсевдоримановых.

Дискретная и компьютернаяматематика

Во второй половине XX века, в связи с появлением компьютеров, произошласущественная переориентация математических усилий. Значительно вырослароль таких разделов, как численные методы, теория оптимизации, общение сочень большими базами данных, имитация искусственного интеллекта,кодирование звуковых и видеоданных и т. п. Возникли новые науки —кибернетика, информатика, распознавание образов, теоретическоепрограммирование, теория автоматического перевода, компьютерноемоделирование, компактное кодирование аудио- и видеоинформации и др.Ряд старых проблем получили решение при использовании компьютерныхдоказательств. Вольфганг Хакен и Кеннет Апель с помощью компьютерарешили проблему четырёх красок (1976).