Интерполяционная формула Брахмагупты

Интерполяционная формула Брахмагупты — интерполяционная формула второго полиномиального порядка, найденная индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598—668) в начале VII века нашей эры. Поэтическое описание этой формулы на санскрите находится в дополнительной части «Кхандакхадьяки» — труда, завершённого Брахмагуптой в 665 году. Такой же куплет имеется в более ранней его работе «Дхьяна-граха-адхикара», точная дата создания которой не установлена. Однако внутренняя взаимосвязь работ позволяет предположить, что она была создана ранее завершённого в 628 году основного труда учёного — «», поэтому создание интерполяционной формулы второго порядка может быть отнесено к первой четверти VII века. Брахмагупта был первым, кто нашёл и использовал формулу в конечных разностях второго порядка в истории математики. Формула Брахмагупты совпадает с интерполяционной формулой второго порядка Ньютона, которая была найдена (переоткрыта) спустя более тысячи лет.

Задача

Будучи астрономом, Брахмагуптта был заинтересован в получении точных значений синуса на основе небольшого количества известных табулированных значений этой функции. Таким образом, перед ним стояла задача найти величину f(x), xr<x<xr+1 по имеющимся в таблице значениям функции:
При условии, что значения функции вычислены в точках с постоянным шагом h, (xr+1xr=h для всех r), Ариабхата предложил использовать для расчётов (табличные) первые конечные разности: Dr=fr+1fr Математики до Брахмагупты использовали очевидную формулу линейной интерполяции f(x)=fr+tDr, где t=(xxr)/h. Брахмагупта заменил в этой формуле Dr дугой функцией конечных разностей, которая позволяет получать более точные по порядку значения интерполируемой функции.

Алгоритм вычислений Брахмагупты

В терминологии Брахмагупты разность Dr1 называется прошлый отрезок (गत काण्ड), Dr называется полезный отрезок (भोग्य काण्ड). Длина отрезка xxr до точки интерполирования в минутах называется обрубком (विकल). Новое выражение, которое должно заменить Dr называется правильным полезным отрезком (स्फुट भोग्य काण्ड). Вычисление правильного полезного отрезка описано в куплете: Согласно комментарию Бхуттопалы (X век) стихи переводятся так: Умножь обрубок на полуразность полезного и прошлого отрезков и раздели результат на 900. Добавь результат к полусумме полезного и прошлого отрезков, если эта полусумма меньше полезного отрезка. Если больше, то вычти. Получишь правильную полезную разность. 900 минут (15 градусов) — это интервал h между аргументами табличных значений синуса, которыми пользовался Брахмагупта.

Формула Брахмагупты в современных обозначениях

В современных обозначениях алгоритм вычислений Брахмагупты выражается формулами: \{begin\{align\} f(x) \& = f\_r + t( \{frac\{D\_r + D\_\{r-1\}\}\{2\} + t\{frac\{D\_\{r\} - D\_\{r-1\}\}\{2\})\{\{ \& = f\_r + t \{frac\{D\_r + D\_\{r-1\}\}\{2\} + t\^2\{frac\{D\_\{r\} - D\_\{r-1\}\}\{2\}. \{end\{align\} Это интерполяционная формула Ньютона второго порядка.

Доказательство

Неизвестно как Брахмагупта получил эту формулу. В наше время такие формулы доказывают с помощью разложения функций f(x+kh),k=1,2,... в правой расти равенства в ряд Тейлора в точке x. Однако доказать формулу можно и элементарными методами: после замены t=(xxr)/h формула Брахмагупты задаёт параболу проходящую через три точки (xr1,fr1),(xr,fr),(xr+1,fr+1). Для вывода этой формулы достаточно найти коэффициенты этой параболы с помощью решения системы трёх линейных уравнений, определяемых этими точками.

Точность формулы

Компьютерный расчёт показывает, что имея таблицу из 7 значений синуса в узлах с шагом 15 градусов, Брахмагупта мог вычислять эту функцию с максимальной ошибкой не более 0,0012 и средней ошибкой не более 0,00042.