Цепь Паппа Александрийского

Цепь Паппа Александрийского — кольцо внутри двух касающихся кругов, заполненных попарно касающимися кругами меньших диаметров. Исследована Паппом Александрийским в III веке н. э.

Построение

Возьмём точки A,B,C в таком порядке на одной прямой и построим окружности CU и CV с диаметрами AB и AC соответственно, центры которых обозначим U и V. Фигура, ограниченная окружностями, схожа с арбелосом (но состоит из двух дуг окружности вместо трёх) и допускает цепь окружностей, также как и в теореме Паппа Александрийского. При этом каждый круг из цепи касается окружности CU снаружи, окружности CV изнутри и двух соседних окружностей цепи.

Свойства


  • Центры Pn кругов цепи расположены на общем эллипсе, фокусами которого являются центры U и V окружностей объемлющей фигуры, поскольку сумма расстояний от центра n-го до точек U и V не зависит от n:
PnU¯+PnV¯=(rU+rn)+(rVrn)=rU+rV

  • Если r=AC/AB, то центр Pn и радиус rn n-го круга цепи задаются формулами
(xn,yn)=(r(1+r)2[n2(1r)2+r],nr(1r)n2(1r)2+r), rn=(1r)r2[n2(1r)2+r]