Processing math: 100%

Математическая логика

Математическая логика (теоретическая логика,символическая логика) — раздел математики, изучающийматематические обозначения, формальные системы, доказуемостьматематических суждений, природу математического доказательства в целом,вычислимость и прочие аспекты оснований математики. В более широкомсмысле рассматривается как математизированная ветвь формальнойлогики — «логика по предмету, математика по методу»,«логика, развиваемая с помощью математических методов».

История

Первое дошедшее до нас сочинение по формальной логике — «» Аристотеля(384-322 гг. до нашей эры). В нём рассматриваются основы силлогистики— правила вывода одних высказываний из других.  Так из высказываний«Все люди смертны» и «Сократ — человек» можно сделать вывод, что«Сократ смертен». Однако на практике такие рассуждения встречаютсякрайне редко.Вопрос о создании символической логики как универсального научного языкарассматривал Лейбниц в 1666 году в работе «Искусство комбинаторики» .Он думал о записи высказываний на специальном языке, чтобы затем пологическим законам вычислять истинность других. В середине XIX векапоявились первые работы по алгебраизации аристотелевой логики,сформировавшие первооснову исчисления высказываний (Буль, де Морган,Шрёдер). В работах Фреге и Пирса (конец 1870-х — начало 1880-х) влогику введены предметные переменные, кванторы и, тем самым, основаноисчисление предикатов. В конце 1880-х годов Дедекинд и Пеано применилиэти инструменты в попытках аксиоматизации арифметики, при этом Пеаносоздал удобную систему обозначений, закрепившуюся и в современнойматематической логике.Уайтхед и Рассел создают в 1910—1913 годах трактат PrincipiaMathematica, который оказал исключительное влияние на все последующееразвитие математической логики. Ещё одной важной вехой в развитии логикистало обнаружение свойственных уровню развития логических исчислений итеории множеств конца XIX века парадоксов, в преодоление которыхпоявилась концепция интуиционизма и интуиционистская логика (Брауэр,1908) и, в качестве альтернативы, Гильбертом создана программаобоснования математики посредством аксиоматической формализации сиспользованием строго ограниченных средств, не приводящих кпротиворечиям.

Основныеположения

Применение в логике математических методов становится возможным тогда,когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точныеязыки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называетсясовокупность правил построения объектов языка (обычно называемыхформулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающихнаше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одниформулы верными, а другие — нет.Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории иисчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода,позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила выводаподразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируютнекоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называтьаксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы A,синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом сконечными наборами A1,An выводимых формул. Широкоприменяемым правилом второго типа является правило modus ponens: есливыводимы формулы A и (AB), то выводима и формула B.Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантическойпригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называетсясемантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формулаязыка Я является верной. Аналогично, исчисление И называетсясемантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Явыводима в И.Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладаютсемантически полными и семантически пригодными исчислениями. Вчастности, известен результат Курта Гёделя о том, что классическоеисчисление предикатов является семантически полным и семантическипригодным для языка классической логики предикатов первого порядка(теорема Гёделя о полноте). С другой стороны, имеется немало языков, длякоторых построение семантически полного и семантически пригодногоисчисления невозможно. В этой области классическим результатом являетсятеорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантическиполного и семантически пригодного исчисления для языка формальнойарифметики.На практике множество элементарных логических операций являетсяобязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессорови, соответственно, входит в языки программирования. Это является однимиз важнейших практических приложений методов математической логики,изучаемых в современных учебниках информатики.

Разделы

В Математической предметной классификации математическая логикаобъединена в одну секцию верхнего уровня с основаниями математики, вкоторой выделены следующие разделы:

  • общая логика , включает классическую логику первого порядка, логики высших порядков (логику второго порядка), комбинаторную логику, λ-исчисление, временную логику, модальную логику, многозначные логики, нечёткую логику, логику в информатике;
  • теория моделей;
  • теория вычислимости и теория рекурсии;
  • теория множеств;
  • теория доказательств и конструктивная математика;
  • алгебраическая логика (включает вопросы изучения булевых алгебр, алгебр Гейтинга, квантовых логик, цилиндрических и полиадических алгебр, алгебр Поста);
  • нестандартные модели.