Обратная теорема

Обратная теорема или обратное утверждение к данной теореме — это утверждение, в котором условие исходной теоремы (прямого утверждения) поставлено заключением, а заключение — условием. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации AB, в которой посылка A является условием теоремы, а следствие B является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде BA является обратной к ней. Часто используется более общее определение обратной теоремы: если (A\andC)B является прямой теоремой, то обратной называется не только теорема B(A\andC), но и теоремы (B\andA)C, (B\andC)A. Вообще говоря, обратная теорема может не быть истинной, даже если прямая теорема верна. Даже если обратное утверждение истинно, то его доказательство может быть гораздо сложнее доказательства прямого. Например, теорема о четырёх вершинах была доказана в 1912 году, а её обратная только в 1998 году.

Свойства


  • Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: (AB)(B¯A¯)
  • Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: (BA)(A¯B¯)

Примеры


  • Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:
\beginquote Если в треугольнике со сторонами длиной a, b и c угол, противолежащий стороне c, прямой, то a2+b2=c2. \endquote Обратная к этой теореме появляется в «Началах» Евклида (книга I, предложение 48), может быть сформулирована следующим образом: \beginquote Если в треугольнике со сторонами длиной a, b и c выполняется a2+b2=c2, то угол, противолежащий стороне c, прямой. \endquote

  • Теорема Абеля и теорема Абеля — Таубера
  • Теоремы о вершинах подерного треугольника
  • Прямая и обратная предельная теорема
  • В ином смысле: теоремы Шеннона для источника общего вида