Абелево расширение

Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.
 Например, расширение \Q[2] является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа 2 и 2. Расширение \Q[23,3i] не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена x32 и его автоморфизмы, фиксирующие \Q, переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелевого расширения явлюется циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.
 Если поле содержит первообразный корень из единицы степени n, то расширение, полученное присоединением к нему корня степени n из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общего случая это утверждение не является верным.
Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической. Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим.