Круговое поле

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле Kn=Q(u), порождённое присоединением к полю рациональных чисел Q первообразного корня n-й степени из единицы u. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.
 Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.
 Пример: K3 состоит из комплексных чисел вида a+b3 i, где a,b — рациональные числа.

Свойства



  • Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
    • Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена xn1.

  • K4n+2=K2n+1, поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 (n2(mod4)). При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
  • Поле Kn является абелевым расширением поля Q с группой Галуа G(Kn/Q)(\Z/n\Z),


  где (\Z/n\Z) — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения [Kn:Q] равна φ(n) (функция Эйлера).
  Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.