Дедекиндово кольцо

 В общей алгебре, дедекиндово кольцо — это целостное кольцо, в котором каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых идеалов. Можно показать, что в этом случае разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Ниже приведено несколько других описаний дедекиндовых колец, которые можно принять за определение.
 Поле — это целостное кольцо, в котором нет ненулевых собственных идеалов, поэтому предыдущее свойство, строго говоря, выполняется. Некоторые авторы добавляют в определение дедекиндова кольца условие «не являющееся полем»; многие другие авторы следуют неявному соглашению, что формулировки всех теорем для дедекиндовых колец можно тривиальным образом подправить, так, чтобы они выполнялись и для полей.
 Из определения немедленно следует, что всякая область главных идеалов — дедекиндово кольцо. Дедекиндово кольцо является факториальным тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.

Предыстория появления понятия


 В XIX веке стало распространённой техникой использование колец алгебраических чисел для решения диофантовых уравнений. Например, в попытке определить, какие целые числа представимы в виде x2+my2, довольно естественно разложить квадратичную форму на множители (x+my)(xmy), разложение происходит в кольце целых квадратичного поля Q(m). Сходным образом, для натурального n многочлен znyn (который возникает при решении уравнения Ферма xn+yn=zn) можно разложить в кольце Z[ζn], где ζn — примитивный n-й корень из единицы.
 При малых значениях m и n эти кольца целых являются областями главных идеалов; в некотором смысле это является объяснением частичного успеха Ферма (m=1,n=4) и Эйлера (m=2,3,n=3) в решении этих двух задач. К этому времени специалистам по изучению квадратичных форм была известна процедура проверки кольца целых квадратичного поля Q(D) на свойство «быть областью главных идеалов». Гаусс изучал случай D<0: он нашел девять значений D, удовлетворяющих свойству, и предположил, что других значений нет (Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет после этого).
 К XX веку математики начали понимать, что условие главных идеалов слишком тонкое, а условие дедекиндовости более крепкое и устойчивое. Например, Гаусс предположил, что существует бесконечно много положительных простых p, таких что кольцо целых поля Q(p) — область главных идеалов; однако к сегодняшнему дню неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей, кольца целых которых удовлетворяют этому условию! С другой стороны, кольцо целых числового поля всегда является дедекиндовым.
 Другое доказательство этой «устойчивости» — то, что дедекиндовость является локальным свойством: нётерово кольцо R является дедекиндовым тогда и только тогда, когда его локализация по любому максимальному идеалу дедекиндова. Но локальное кольцо дедекиндово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов и кольцом дискретного нормирования, так что для областей главных идеалов дедекиндовость — это глобализация свойства дискретного нормирования.

Эквивалентные определения


 Для целостного кольца R, не являющегося полем, следующие утверждения эквивалентны:

  • Каждый ненулевой собственный идеал раскладывается в произведение простых;
  • R нётерово и его локализация по любому максимальному идеалу — кольцо дискретного нормирования;
  • Любой дробный идеал кольца R обратим;
  • R целозамкнуто, нётерово, и его размерность Крулля равна единице.

 Кольцо Крулля — это «многомерный» аналог дедекиндова кольца: дедекиндовы кольца (не являющиеся полями) — это в точности кольца Крулля размерности 1. Такое определение дедекиндова кольца использовали Бурбаки в «Коммутативной алгебре».

Примеры


 Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретного нормирования дедекиндовы.
 Кольцо R=OK алгебраических целых чисел числового поля K нётерово, целозамкнуто и имеет размерность 1 (чтобы доказать последнее, достаточно заметить, что для любого ненулевого идеала I кольца R, R/I конечно, а конечные целостные кольца являются полями), поэтому R дедекиндово. Это основной, мотивирующий пример для теории дедекиндовых колец.
 Другой пример, важность которого не меньше чем у первого, предоставляет алгебраическая геометрия. Пусть C — аффинная алгебраическая кривая над полем k. Тогда координатное кольцо k[C] регулярных функций на C дедекиндово. Действительно, это просто перевод геометрических терминов на алгебраический язык: координатное кольцо аффинного многообразия, по определению, конечнопорожденная k-алгебра (следовательно, нётерово); кривая подразумевает размерность 1, а из отсутствия особенностей следует нормальность, то есть целозамкнутость.
 Оба примера являются частными случаями следующей базовой теоремы:

Теорема: пусть R — дедекиндово кольцо с полем частных K, L — конечное расширение K, а S — целое замыкание R в L. Тогда S — дедекиндово кольцо.
  Применив эту конструкцию к R = Z, получаем кольцо целых числового поля. R = k[x] соответствует случаю алгебраических кривых без особенностей.

Дробные идеалы и группа классов идеалов


 Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Дробный идеал кольца R — это ненулевой R-подмодуль K, для которого существует ненулевой x из K, такой что xIR.
 Для двух дробных идеалов I, J можно определить их произведение IJ как множество всех конечных сумм ninjn, inI, jnJ: произведение IJ также является дробным идеалом. Множество Frac(R) всех дробных идеалов, таким образом, является коммутативной полугруппой, и даже моноидом: тождественный элемент — дробный идеал R.
 Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

I=(R:I)={xK | xIR}.
  Очевидно, IIR. Равенство достигается, когда I обратим (как элемент моноида Frac(R)). Другимми словами, если I имеет обратный элемент, то этот обратный — I.
Главный дробный идеал — это дробный идеал вида xR для ненулевого x из K. Все дробные идеалы обратимы: обратный для xR — это просто 1xR. Обозначим подгруппу главных дробных идеалов Prin(R).
 Целостное кольцо R — кольцо главных идеалов тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал главный. В этом случае Frac(R) = Prin(R) = K/R, поскольку xR и yR совпадают тогда и только тогда, когда xy1 — обратимый элемент R.
 Для произвольного целостного кольца R имеет смысл фактормоноид Frac(R) по подмоноиду Prin(R). В общем случае этот фактор является всего лишь моноидом. Легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac(R)/Prin(R) обратим тогда и только тогда, когда I сам по себе обратим.
 Теперь становится понятен смысл третьего определения дедекиндова кольца: в дедекиндовом кольце — и только в дедекиндовом кольце — каждый дробный идеал обратим. Таким образом, дедекиндовы кольца — это класс колец, для которых Frac(R)/Prin(R) является группой, называемой группой классов идеалов Cl(R) кольца R. Cl(R) тривиальна тогда и только тогда, когда R — область главных идеалов.
 Одна из базовых теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов идеалов кольца целых числового поля конечна.

Конечнопорожденные модули над дедекиндовыми кольцами


 Помня о существовании чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов, естественно выяснить, можно ли распространить её на случай дедекиндовых колец.
 Напомним формулировку структурной теоремы для модуля M над областью главных идеалов. Мы определяем подмодуль кручения T как множество таких элементов m кольца M, что rm=0 для некоторого ненулевого r из R. Тогда:
 (1) T можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения, каждый из которых имеет вид R/I для некоторого ненулевого идеала I кольца R. По китайской теореме об остатках, каждый R/I можно разложить в прямую сумму модулей вида R/Pi, где Pi — степень простого идеала. Получившееся разложение модуля T единственно с точностью до порядка сомножителей.
 (2) Существует дополняющий подмодуль P модуля M, такой что M=TP.
 (3) P изоморфен Rn для однозначно определённого неотрицательного целого n. В частности, P — конечнопорождённый свободный модуль.
 Теперь пусть M — конечнопорождённый модуль над дедекиндовым кольцом. Утверждения (1) и (2) остаются верными и для него. Однако из (3) следует, что любой конечнопорождённый модуль без кручения свободен. В частности, из этого следует, что все дробные идеалы являются главными. Иными словами, нетривиальность группы классов идеалов Cl[R] противоречит (3). Оказывается, что число «дополнительных» конечнопорождённых модулей без кручения можно проконтролировать, зная группу классов идеалов. Для произвольного конечнопорождённого модуля над дедекиндовым кольцом верно утверждение
 (3') P изоморфно прямой сумме проективных модулей ранга 1: PI1Ir. Более того, для любых проективных модулей ранга 1 I1,,Ir,J1,,Js

I1IrJ1Js
  выполняется тогда и только тогда, когда

r=s
  и

I1IrJ1Js.
  Проективные модули ранга 1 отождествляются с дробными идеалами, поэтому последнее условие можно переформулировать как

[I1Ir]=[J1Js]Cl(R).
  Следовательно, конечнопорождённый модуль ранга n>0 без кручения можно записать в виде Rn1I, где I — проективный модуль ранга 1. Класс Стейница модуля P над R — это класс [I] идеала I в группе Cl(R), он однозначно определён. Из этого следует
Теорема. Пусть R — дедекиндово кольцо. Тогда K0(R)ZCl(R), где K0(R) — группа Гротендика коммутативного моноида конечнопорождённых проективных R-модулей.
 Эти результаты были установлены Стейницем в 1912 году.