Теорема Дирихле о единицах

Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемых единицами) кольца алгебраических целых OK числового поля K.

Формулировка


 Пусть K — числовое поле (т. е., конечное расширение \Q), а OK — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов OK равен d=r+s1, где r — число различных вложений K в поле вещественных чисел \R, а s — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в \C, не являющихся чисто вещественными.

Следствия и обобщение


 В частности, поскольку для расширения степени выполнено r+2s=n, то dn1, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения K в \C чисто вещественные.
 Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля x2my2=1 выводится из этой теоремы, применённой к \Q(m) — квадратичному расширению \Q.
 Случай группы обратимых элементов максимального ранга связан с многомерными цепными дробями.