Processing math: 100%

Теорема Дирихле о единицах

Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теориичисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемыхединицами) кольца алгебраических целых OK числовогополя K.

Формулировка


 Пусть K — числовое поле (т. е., конечное расширение \Q), аOK — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимыхэлементов OK равен d=r+s1, где r — число различныхвложений K в поле вещественных чисел \R, а s — число паркомплексно-сопряжённых различных вложений в \C, не являющихся чистовещественными.

Следствия иобобщение


 В частности, поскольку для расширения степени выполнено r+2s=n, тоdn1, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда всевложения K в \C чисто вещественные.
 Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля x2my2=1выводится из этой теоремы, применённой к \Q(m) —квадратичному расширению \Q.
 Случай группы обратимых элементов максимального ранга связан смногомерными цепными дробями.