Дробный идеал

 В коммутативной алгебре, дробный идеал — это обобщение понятия идеала целостного кольца, особенно полезное при изучении дедекиндовых колец. Условно говоря, дробные идеалы — это идеалы со знаменателями. В случаях, когда одновременно обсуждаются дробные и обычные идеалы, последние называют целыми идеалами.

Основные определения


 Пусть R — целостное кольцо, K — его поле частных. Дробный идеал кольца R — это R-подмодуль I поля K, такой что rIR для некоторого rR. Интуитивно, r сокращается со знаменателями всех элементов I. Главные дробные идеалы — это дробные идеалы, порождённые (как R-модули) единственным элементом поля K. Дробный идеал содержится в R тогда и только тогда, когда он является целым идеалом R.
 Для двух дробных идеалов I, J можно определить из произведение IJ как множество всех конечных сумм ninjn, inI, jnJ: произведение IJ также является дробным идеалом. Дробный идеал I называется обратимым, если существует дробный идеал J, такой, что IJ = R. Множество обратимых идеалов образует абелеву группу по произведению, тождественный элемент которой — само кольцо R. Эта группа называется группой дробных идеалов кольца R, главные дробные идеалы образуют в ней подгруппу. Ненулевой дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он является проективным R-модулем.

Случай дедекиндовых колец


 Дедекиндовы кольца выделяются среди целостных колец тем свойством, что каждый ненулевой дробный идеал обратим. В этом случае факторгруппа группы дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов идеалов и является важным инвариантом дедекиндова кольца. Обобщение понятия группы классов идеалов на случай недедекиндовых колец (и даже общих окольцованных пространств) называется .

Дивизорные идеалы


 Обозначим через I~ пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал I. Эквивалентно,

I~=(R:(R:I)),
  где

(R:I)={xK:xIR}
  Дробный идеал, получающийся в результате применения такой операции, называется дивизорным идеалом. Или, эквивалентно, дивизорные идеалы — это все дробные идеалы I, такие что I~=I. Произведение дивизорных идеалов является дивизорным идеалом, поэтому дивизорные идеалы образуют коммутативный моноид D(R). Этот моноид является группой тогда и только тогда, когда кольцо R вполне целозамкнуто.
 Дивизорные идеалы обычно рассматривают для колец Крулля, в этом случае простые идеалы высоты 1 являются дивизорными и образуют базис абелевой группы D(R). Главные дробные идеалы являются дивизорными, факторгруппа D(R) по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов дивизоров.