Сумма Гаусса

 В математике под суммой Гаусса понимается определенный вид конечных сумм корней из единицы, как правило, записанных в виде

G(χ):=G(χ,ψ)=χ(r)ψ(r)
  Здесь сумма берется по всем элементам r некоторого конечного коммутативного кольца R, ψ(r) — гомоморфизм аддитивной группы R+ в единичную окружность, и χ(r) — гомоморфизм группы единиц R× в единичную окружность, расширенную элементом 0. Суммы Гаусса являются аналогом гамма-функций для случая конечных полей.
 Эти суммы часто встречаются в теории чисел, в частности, в функциональных уравнениях L-функций Дирихле.
 Карл Фридрих Гаусс использовал свойства сумм для решения некоторых задач теории чисел, в частности он применил их в одном из доказательств квадратичного закона взаимности. Первоначально под суммами Гаусса понимались квадратичные суммы Гаусса, для которых R — поле вычетов по модулю p, а χ — символ Лежандра. Для этого случая Гаусс показал, что G(χ) = p1/2 или ip1/2, когда p сравнимо с 1 или 3 по модулю 4 соответственно.
 Альтернативная форма записи суммы Гаусса:

e2πir2p
  Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале XIX века с использованием сумм Якоби и их разложений на простые в круговых полях.
 Значение сумм Гаусса для теории чисел было выявлено только в 20-е годы XX века. В это время Герман Вейль применил для исследования равномерных распределений более общие тригонометрические суммы, впоследствии названные суммами Вейля. В то же время И. М. Виноградов использовал суммы Гаусса для получения оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю р. Суммы Гаусса позволяют установить связь между двумя важными объектами теории чисел: мультипликативными и аддитивными характерами. Квадратичные суммы Гаусса тесно связаны с теорией θ-функций.
 Абсолютное значение сумм Гаусса обычно находят с помощью для конечных групп. В случае, когда R — поле из p элементов и χ нетривиален, абсолютное значение равно p1/2. Вычисление точного значения общих сумм Гаусса является непростой задачей.

Свойства сумм Гаусса для характера Дирихле


 Сумма Гаусса для характера Дирихле по модулю N

G(χ)=a=1Nχ(a)e2πia/N.
  Если χ — примитивный, то

|G(χ)|=N,
  и, в частности, не равна нулю. Более общо, если N0 — кондуктор характера χ и χ0 — примитивный характер Дирихле по модулю N0, индуцирующий χ, то

G(χ)=μ(N/N0)χ0(N/N0)G(χ0)
  где μ — функция Мёбиуса.
 Из этого следует, что G(χ) не равна нулю тогда и только тогда, когда N/N0 свободно от квадратов и взаимно просто с N0.
 Выполняется также соотношение

G(χ¯)=χ(1)G(χ)¯,
  где  — комплексное сопряжение характера Дирихле.
 Если χ′ — характер Дирихле по модулю N′, такой что N и N′ взаимно просты, то

G(χχ)=χ(N)χ(N)G(χ)G(χ).