Сумма Гаусса

 В математике под суммой Гаусса понимается определенный видконечных сумм корней из единицы, как правило, записанных в виде

G(χ):=G(χ,ψ)=χ(r)ψ(r)
 Здесь сумма берется по всем элементам r некоторого конечногокоммутативного кольца R, ψ(r) — гомоморфизм аддитивнойгруппы R+ в единичную окружность, иχ(r) — гомоморфизм группы единиц R× вединичную окружность, расширенную элементом 0. Суммы Гаусса являютсяаналогом гамма-функций для случая конечных полей.
 Эти суммы часто встречаются в теории чисел, в частности, вфункциональных уравнениях L-функций Дирихле.
 Карл Фридрих Гаусс использовал свойства сумм для решения некоторых задачтеории чисел, в частности он применил их в одном из доказательствквадратичного закона взаимности. Первоначально под суммами Гауссапонимались квадратичные суммы Гаусса, для которых R — полевычетов по модулю p, а χ — символ Лежандра. Для этого случаяГаусс показал, что G(χ) = p1/2 илиip1/2, когда p сравнимо с 1 или 3 помодулю 4 соответственно.
 Альтернативная форма записи суммы Гаусса:

e2πir2p
 Общая теория сумм Гаусса была разработана в начале XIX века сиспользованием сумм Якоби и их разложений на простые в круговых полях.
 Значение сумм Гаусса для теории чисел было выявлено только в 20-е годыXX века. В это время Герман Вейль применил для исследования равномерныхраспределений более общие тригонометрические суммы, впоследствииназванные суммами Вейля. В то же время И. М. Виноградов использовалсуммы Гаусса для получения оценки сверху наименьшего квадратичногоневычета по модулю р. Суммы Гаусса позволяют установить связь междудвумя важными объектами теории чисел: мультипликативными и аддитивнымихарактерами. Квадратичные суммы Гаусса тесно связаны с теориейθ-функций.
 Абсолютное значение сумм Гаусса обычно находят с помощью для конечныхгрупп. В случае, когда R — поле из p элементов и χнетривиален, абсолютное значение равно p1/2.Вычисление точного значения общих сумм Гаусса является непростойзадачей.

Свойства сумм Гаусса для характераДирихле


 Сумма Гаусса для характера Дирихле по модулю N

G(χ)=a=1Nχ(a)e2πia/N.
 Если χ — примитивный, то

|G(χ)|=N,
 и, в частности, не равна нулю. Более общо, еслиN0 — кондуктор характера χ иχ0 — примитивный характер Дирихле по модулюN0, индуцирующий χ, то

G(χ)=μ(N/N0)χ0(N/N0)G(χ0)
 где μ — функция Мёбиуса.
 Из этого следует, что G(χ) не равна нулю тогда и только тогда,когда N/N0 свободно от квадратов и взаимнопросто с N0.
 Выполняется также соотношение

G(χ¯)=χ(1)G(χ)¯,
 где  — комплексное сопряжение характера Дирихле.
 Если χ′ — характер Дирихле по модулю N′, такой что N иN′ взаимно просты, то

G(χχ)=χ(N)χ(N)G(χ)G(χ).