Группа классов идеалов

Группа классов идеалов дедекиндова кольца — это, грубо говоря, группа, позволяющая сказать, насколько сильно в данном кольце нарушается свойство факториальности. Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда дедекиндово кольцо является факториальным. Свойства дедекиндова кольца, касающиеся умножения его элементов, тесно связаны с устройством этой группы.

Определение


 Пусть R — целостное кольцо, определим отношение на его ненулевых дробных идеалах следующим образом: IJ тогда и только тогда, когда существуют ненулевые элементы a и b кольца R, такие что (a)I=(b)J, легко показать, что это задаёт отношение эквивалентности. Классы эквивалентности по этому отношению называются классами идеалов. Умножение классов, определенное как [a]*[b] = [ab] корректно определено, ассоциативно и коммутативно; главные дробные идеалы образуют класс [R], являющийся единицей для этого умножения. Класс [I] имеет обратный к нему класс [J] тогда и только тогда, когда идеал IJ главный. В общем случае такой J может не существовать и классы идеалов будут всего лишь коммутативным моноидом.
 Если R к тому же является дедекиндовым кольцом (например, кольцом алгебраических чисел некоторого алгебраического числового поля), то у каждого дробного идеала I существует обратный J, такой что IJ = R = (1). Следовательно, классы дробных идеалов дедекиндова кольца с определенным выше умножением образуют абелеву группу, группу классов идеалов кольца R.

Свойства



  • Группа классов идеалов тривиальна тогда и только тогда, когда все идеалы кольца R главные, то есть когда R является областью главных идеалов. При этом дедекиндово кольцо факториально тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов.
  • Число классов идеалов кольцо R в общем случае может быть бесконечным; более того, люба абелева группа изоморфна группе классов некоторого дедекиндова кольца. Однако если R — кольцо целых числового поля, его число классов конечно.
  • Вычисление группы классов в общем случае является довольно трудным. Это можно сделать вручную для алгебраического числового поля с малым дискриминантом, используя . Для полей с большим дискриминантом вычисление вручную становится непрактичным, и его обычно проводят при помощи компьютера.

Примеры


Число классов квадратичного поля


 Если d — число, свободное от квадратов, то Q(d) является квадратичным полем. Если d \textless 0, группа классов тривиальна только для следующих значений: d=1,2,3,7,11,19,43,67,163. Что касается случая d \textgreater 0, до сегодняшнего дня остаётся открытой проблемой вопрос о том, бесконечно ли число значений, которым соответствует тривиальная группа классов.

Пример нетривиальной группы классов


R=Z[5] — кольцо целых числового поля Q(5). Это кольцо не является факториальным; действительно, идеал

J=(2,1+5)
  не является главным. Это можно доказать от противного следующим образом. На R можно определить функцию нормы N(a+b5)=a2+5b2, причем N(ab)=N(a)N(b) и N(x)=1 тогда и только тогда, когда x обратим. Прежде всего, JR. Факторкольцо по идеалу (1+5) изоморфно Z/6Z, поэтому R/JZ/2Z. Если J порожден элементом x, то x делит 2 и 1 + √−5. Следовательно, норма x делит 4 и 6, то есть равна 1 или 2. Она не может быть равна 1, так как J не равен R, и не может быть равна 2, так как a2+5b2 не может иметь остаток 2 по модулю 5. Легко проверить что J2=(2) — главный идеал, поэтому порядок J в группе классов равен 2. Однако проверка того, что все идеалы принадлежат одному из этих двух классов, требует чуть больших усилий.