Теория Куммера

 В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840-го года в его работе, связанной с теоремой Ферма.
 При условии, что характеристика поля p взаимно проста с n при p \textgreater 0, основное утверждение теории не зависит от природы поля и потому относится к общей алгебре.
 Теория Куммера имеет аналог для случая n=р (теория Артина — Шрейера). Роль группы μn (см. ниже) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя Fp исходного поля.
 Существует также принадлежащее Э. Витту обобщение этой теории для случая n=ps, где s>1, использующее векторы Витта.
 Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в понимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличии достаточного числа корней из единицы циклические расширения могут быть поняты в терминах выделения корней.

Расширения Куммера


Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то есть вложение поля K в поле L), такое что для некоторого целого n \textgreater 1 выполняются следующие два условия:

  • K содержит n различных корней из единицы n-ой степени (то есть все корни уравнения xn−1)
  • L/K содержит абелеву группу Галуа степени n (то есть n — наименьшее общее кратное порядков элементов этой группы).

 Например, для n = 2 первое условие всегда верно, если характеристика K ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения L = K(√a), где a в K не является квадратом. При решении квадратных уравнений любое расширение K степени 2 имеет такой вид. Расширение Куммера включает в этом случае также биквадратные расширения и, обобщенно, мультиквадратные расширения. При характеристике K, равной 2, такие расширения Куммера отсутствуют.
 При n = 3 не существует расширений Куммера степени 3 в поле рациональных чисел Q, поскольку нужны три кубических корня из 1, так что нужны комплексные числа. Если L — поле разложения X3a над Q, где a не является кубом рационального числа, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1. Последнее следует из факта, что если α и β — корни кубического многочлена, мы должны получить (α/β)3 =1, что является сепарабельным многочленом. Таким образом, L/K — расширение Куммера.
 Обобщая, если K содержит n различных корней из единицы n-ой степени и характеристика K не делит n, добавление к K корня n-ой степени из какого-либо элемента a из K образует расширение Куммера (степени m, которое делит n).
 В качестве поля разложения полинома Xna расширение Куммера необходимо в расширении Галуа циклической группы Галуа порядка m.

Теория Куммера


 Теория Куммера утверждает, что при наличии в K первообразного корня степени n, любое циклическое расширение K степени n образуется присоединением корня n-ой степени.
 Если K× — мультипликативная группа ненулевых элементов K, циклические расширения K степени n соответствуют однозначно циклическим подгруппам
K×/(K×)n,

 то есть элементы K× по модулю n-х степеней.
 Соответствие можно записать следующим образом: пусть задана циклическая подгруппа
ΔK×/(K×)n,
соответствующее расширение задается формулой
K(Δ1/n),
то есть присоединением n-х корней элементов Δ к K.
 И обратно, если L — расширение Куммера для K, то Δ задается формулой
Δ=K×(L×)n.

 В этом случае существует изоморфизм
ΔHom(Gal(L/K),μn),

 задаваемый формулой
a(σσ(α)α),

 где α — любой корень из a n-ой степени в L.

Обобщения


 Имеется небольшое обобщение теории Куммера на абелевы расширения группы Галуа степени n, и аналогичное утверждение верно в этом контексте. А именно, можно доказать, что такие расширения являются однозначным отображением в подгруппы
K×/(K×)n.

 Если основное поле K не содержит корней из единицы n-ой степени, иногда используют изоморфизм
K×/(K×)nH1(GK,μn).