Локальное поле

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Определение


 Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

Типы


 Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.
 Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

  • Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел \R и поле комплексных чисел \C.
  • Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа \Qp и их конечные расширения.
  • Неархимедовы локальные поля характеристики p0: формальные ряды Лорана над конечным полем Fpn и их конечные расширения.

Свойства


Общие свойства



  • Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
  • На любом локальном поле K можно ввести абсолютную величину |a| такую, что
    |a|=μ(aX)μ(X)


  для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества XK с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поля



  • В неархимедовом локальном поле K с абсолютной величиной || можно дать следующие определения:
    • Кольцо целых чисел
      O={aK:|a|1}.
      • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в (K,||).
    • Единицы в кольце целых чисел определяются как O×={aK:|a|=1}.
      • Они образуют группу и единичную сферу в (K,||).
    • Единственный ненулевой простой идеал m в кольце целых чисел является открытым единичным шаром
      {aK:|a|<1},



  и его образующий элемент ωm называется униформизирующим элементом K.


  • Каждый ненулевой элемент aK можно записать как a=ωnu, где u — единичный элемент, n — целое число, определяемое однозначно по a.
    • В частности |a|=|k|n=|ω|n.

 Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Теория полей